Z-transform

Z-transformen används inom matematik och signalbehandling för att konvertera tidsdiskreta signaler (en sekvens av reella eller komplexa tal) till en komplexvärd representation i frekvensdomänen. Z-transformen är nära besläktad med fouriertransformen.

Z-transformen motsvaras i den tidskontinuerliga domänen av laplacetransformen.

Definition

Z-transformen av en signal $x(n)$ är funktionen $X(z)$ och definieras som

${\mathcal {Z}}(\{x(n)\})=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$

där $n$ är ett heltal och $z$ är ett komplext tal.

Om $x(n)$ skall konverteras endast för icke-negativa värden av n, kan Z-transformens definition skrivas

${\mathcal {Z}}(\{x(n)\})=X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$

Den senare kallas ibland för den enkelsidiga Z-transformen och den förra dubbelsidig. Inom signalbehandling används den enkelsidiga om signalen är kausal.

Egenskaper

• Linearitet. Z-transformen av en linjärkombination av två signaler är lika med linjärkombinationen av de två individuella Z-transformerna:

${\mathcal {Z}}(\{a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n)\})=a_{1}{\mathcal {Z}}(\{x_{1}(n)\})+a_{2}{\mathcal {Z}}(\{x_{2}(n)\})$

• Tidsförskjutning av signalen med $k$ steg är detsamma som att multiplicera Z-transformen(gäller endast för dubbelsidiga) med $z^{-k}$.

${\mathcal {Z}}(\{x(n-k)\})=z^{-k}{\mathcal {Z}}(\{x(n)\})$

• Faltning. Z-transformen av faltningen av två sekvenser är produkten av de två individuella Z-transformerna.

${\mathcal {Z}}(\{x(n)\}*\{y(n)\})={\mathcal {Z}}(\{x(n)\}){\mathcal {Z}}(\{y(n)\})$

• Derivering.

${\mathcal {Z}}(\{nx(n)\})=-z{{d{\mathcal {Z}}(\{x(n)\})} \over dz}$

Den inversa Z-transformen kan beräknas som

$x(n)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}\,dz$

där $C$ är en sluten kurva kring origo som ligger innanför $X(z)$:s konvergensradie.

Den diskreta fouriertransformen är ett specialfall av Z-transformen med $z=e^{j\omega }$.

Tillämpningar

Z-transformen kan användas för att lösa vissa differensekvationer. En differensekvation på formen

$\sum _{k=0}^{l}a_{k}x(n-k)=b$

där a₁, ..., a_l, b är konstanter, kan, om man antar att Z-transformen av x är X, transformeras till

$\sum _{k=0}^{l}a_{k}z^{-k}X(z)={\frac {bz}{z-1}}$

som man sedan kan bryta ut X ur:

$X(z)={\frac {bz}{(z-1)\sum _{k=0}^{l}a_{k}z^{-k}}}.$

Detta uttryck kan sedan inverstransformeras medelst exempelvis partialbråksuppdelning och tabell eller residykalkyl för att erhålla x.

Se även

• Genererande funktion