Sonsuz küçük

Sonsuz küçükler, ölçülemeyecek kadar küçük cisimleri tarif etmek için kullanılır. Sonsuz küçüklerden yararlanmaktaki asıl amaç nicelik bakımından çok küçük olsalar da hala açı, eğim gibi belirli özelliklere sahip olmalarıdır. Sonsuz küçük kelimesi (İng. İnfinitesimal) 17. Yüzyıl Modern Latin uydurma sözcüğü olan bir dizideki “sonsuzuncu” terim anlamına gelen infitesimustan gelmektedir. İlk olarak 1670 yılı civarında Nicolas Marecator ya da Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından kullanılmıştır. Genel anlamla sonsuz küçük bir cisim herhangi bir uygulanabilir ölçümden küçük olan ama boyut olarak sıfırdan farklı ya da çok küçük olan ve bu nedenle sıfırdan ayırt edilemeyecek durumdaki cisimdir. Bundan dolayı sonsuz küçük ifadesi sıfat olarak kullanıldığında aşırı derecede küçük anlamına gelmektedir. Bir anlam verebilmek için genellikle aynı bağlamdaki başka bir sonsuz küçük ile karşılaştırılması gerekir (türevde olduğu gibi). Sonsuz miktarda çok sonsuz küçük bir integral üretmek amacıyla toplanır. Arşimet “Mekanik Teoremlerin Metodu” adı verilen çalışmasında katı cisimlerin hacimlerini ve bölgelerin alanlarını bulmak için Bölünmezler Yöntemi olarak bilinen yöntemi kullanmıştır. Yayımlanan resmi bilimsel eserlerinde aynı problemleri Tüketme Yöntemi ile çözmüştür. 15. Yüzyılda Cusalı Nicholas’ın üzerinde çalıştığı bir çemberin alanını çemberi sonsuz kenarlı bir çokgen olarak hesaplama yöntemi 17. Yüzyılda Johannes Kepler tarafından geliştirilmiştir. Simon Stevin’in 16. Yüzyılda tüm sayıların ondalık gösterimi üzerine yaptığı çalışmalar gerçek sürekliliğe temel hazırladı. Bonaventura Cavalieri’nin bölünmezler yöntemi klasik yazarların sonuçlarını genişletmesine olanak sağladı. Bölünmezler yöntemi, eş boyutlu varlıklardan oluşan geometrik figürler ile ilişkilidir. John Wallis’in sonsuz küçük görüşü geometrik figürleri figürle aynı boyuta sahip sonsuz yapı bloğuna bölmesi ile bölünmezler yönteminden ayrılır. Bu görüş integral kalkülüsünün genel yöntemleri için temel hazırlamıştır. Sonsuz küçükleri alan hesabında ${\frac {1}{\infty }}$ ile göstermiştir. Leibniz tarafından kullanılan sonsuz küçükler, sonlu ve sonsuz sayılar için başarılı olan Süreklilik Kuramı ve belirlenemez miktarlar için gösterimi değiştirmenin yönteminin sadece belirlenebilir olanları göstererek yapılacağını anlatan Aşkın Homojenite Yasası gibi bulgusal prensiplere dayanmaktaydı. 18. Yüzyıl sonsuz küçüklerin Leonard Euler ve Joseph-Louis Lagrange gibi matematikçiler tarafından sıklıkla kullanıldığı bir zaman aralığı olmuştur. Augustin-Louis Cauchy sonsuz küçükleri Cour d’Analyse adlı eserinde sürekliliği açıklamak için ve Dirac delta fonksiyonunun ilk formlarından birini tanımlarken kullanmıştır. Tıpkı Cantor ve Dedekind’ın Stevin’in sürekliliğinin daha soyut bir halini geliştirdikleri gibi Paul du Bois-Reymond da sonsuz küçük ile zenginleştirilmiş süreklilik üzerine fonksiyonların artış oranını temel alan bir seri çalışma yapmıştır. Du Bois-Reymond’un çalışması Emile Boral ve Thoralf Skolem’ e ilham verdi. Borel Bois-Reymond’un çalışmalarını Cauchy’nin sonsuz küçüklerin artış oranına dair çalışmalarıyla bağlantı kurdu. Skolem 1934’te aritmetiğin standart dışı ilk modellerini geliştirdi. Süreklilik ve sonsuz küçük yasalarının matematiksel “implementasyonu” Abraham Robinson tarafından 1961’de yapılmıştır. Robinson ayrıca Edwin Hewirr’in 1948’de ve Jerzy Łoś’un 1955’teki çalışmalarına dayanarak standart dışı analizi geliştirmiştir. Hipergerçekler sonsuz küçük ile zenginleştirilmiş sürekliliği sağlar ve transfer prensibi de Leibniz’in süreklilik yasasını sağlar.

Sonsuz Küçüklerin Tarihçesi

Sonsuz sayıdaki küçük miktarlar fikri ilk olarak Elea Okulunda tartışılmıştır. Yunan matematikçi Arşimet Mekanik Teoremler Metodu adlı eserinde ilk kez sonsuz küçüklerin mantıksal tanımını yapmıştır. Bulduğu Arşimet özelliği, Bir x sayısı eğer |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., şartını sağlıyorsa bu x sayısına sonsuz, eğer x sıfırdan farklı ise ve benzer şartı 1/x için ve pozitif tam sayıların tersi için sağlıyorsa sonsuz küçüktür. Bir sayı sistemi sonsuz ve sonsuz küçük içermiyorsa Arşimetçi sayı sistemi denir. Hindistanlı matematikçi Bhāskara II’daki değişimi gösteren çarpı cinsinden bir geometrik teknik oluşturmuştur. Kalkülüs’ün keşfinden önce matematikçiler Pierre de Fermat’ın yeterlilik yöntemi ve Rene Descartes’in normal yöntemi ile tanjant doğrularını hesaplayabiliyorlardı. Bu yöntemin doğada sonsuz küçük ya da cebirsel olduğuna dair bir tartışma vardır. Newton ve Leibniz kalkülüsü icat ettiğinde sonsuz küçükleri kullandılar. Bishop Berkeley’in The Alayst adlı eserinde sonsuz küçüklerin yanlış olduğu savunuldu. Matematikçiler, bilim insanları ve mühendisler sonsuz küçükleri kullanarak doğru sonuçlar elde etmeye devam ettiler. 19. Yüzyılın ikinci yarısında, kalkülüs Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weiestrss ve Dedekind tarafından limitin tanımı ve küme kuramı kullanılarak tekrar formüle edildi. Cantor, Dedekind ve Weierstrass’ın takipçileri tıpkı felsefi müttefikleri olan Bertrand Russell ve Rudolf Carnap gibi sonsuz küçükleri uydurma bir konu olarak görüp analizde sonsuz küçüklerden kurtulmak için uğraştılar. Hermann Cohen ve onun takipçileri sonsuz küçüklerin çalışma mantığını anlamak için uğraştılar. Sonsuz küçükleri içeren matematiksel sistemler üzerindeki çalışmalar Levi-Civita ve Paul du Bois-Reymond’un çalışmalarına kadar (19. Yüzyıl sonları ve 20. Yüzyılın başlarına kadar) devam etmiştir. 20. Yüzyılda sonsuz küçüklerin kalkülüs ve analiz için bir temel oluşturabileceği keşfedilmiştir.

Birinci Dereceden Özellikler

Gerçek sayılar sonsuz ve sonsuz küçükleri içerek kadar genişletildiğinde bu kümenin elemanlarından herhangi birinin temel özelliklerini değiştirmeden kalması beklenir. Bu, mümkün olduğunca çok benzer sonucun hala mevcut olduğunun garantisini verir. Burada bahsi geçen “temel”, kümeler üzerinde bir sınırlama olmadığı sadece elemanlar üzerinde bir sınırlama olduğu anlamına gelir. Bu sınırlama “ herhangi bir x sayısı…” gibi ifadelere izin verir. Örneğin, “ herhangi bir x sayısı için x + 0 = x” ifadesi hala uygun olur. Aynı şey birkaç farklı sayı üzerinde miktar ölçümü yapıldığında da doğru olur. Örneğin, “ herhangi x ve y sayısı için xy = yx” Ancak, “ herhangi bir S sayı kümesi için” gibi ifadeler geçerli olmayabilir. Ölçmedeki bu sınırlamadaki mantık birinci derecenden mantık olarak adlandırılır. İlk bakışta genişletilmiş sayı sisteminin gerçek sayılar ile kümeler üzerinde sınırlama yapılarak gösterilen özelliklerin tümüyle uyuşamadığı görülebilir. Çünkü amaç Arşimetçi olmayan bir sistem oluşturmaktır ve Arşimet prensibi kümeler üzerinde sınırlama yapılarak gösterilebilir ama bu doğru değildir. Gerçek sayıları, Küme kuramını içeren Herhangi bir kuramı bir sayının 1/2, 1/3, 1/4 … ‘ten küçük olduğunu iddia eden sayılabilir sonsuz belitleri, sonsuz küçükleri içermesi için eklemek sıradan bir işlemdir. Benzer olarak tamlık özelliğinin de çalışmaması beklenir çünkü gerçek sayılar eş yapılılığa kadar tamamen sıralanmış özel bir alandır. Bu ifade küme kuramının altında yatan bazı modelleri varsaydığı için resmi bir ifade olmak için yanlıştır. Arşimetçi olmayan bir sayı sisteminin gerçek sayılarla uyumlu birinci dereceden özelliklere sahip olduğu üç durum tanımlayabiliriz:

1. Sıralı bir alan, birinci dereceden mantıkta gerçek sayılar için belirtilen tüm belitlere uyabilir
2. Bir gerçek kapalı alan +, × ve ≤ gibi temel sıralı alan ilişkilerini içeren gerçek sistemlerinin sahip olduğu tüm birinci derece özelliklere belitik olup olmadıklarına bakılmaksızın sahiptir. Bu birinci dereceden özelliklere uymaktan daha güçlü bir durumdur.
3. Herhangi bir ilişki içeren ifadeler için sistem, gerçek sayı sisteminin tüm birinci dereceden özelliklerine sahip olabilir.

Birinci kategorideki sistemler oluşturmak için daha kolaydır ancak sonsuz küçükleri kullanarak tamamen klasik analiz işlemleri yapmaya izin vermez. Örneğin, deneyüstü fonksiyonlar sonsuz limit işlemleri cinsinden tanımlanmıştır ve bundan dolayı onları birinci dereceden mantıkta tanımlamanın hiçbir yolu yoktur. 2. Ve 3. Kategorilere geçtiğimizde bu yöntemin daha az yapıcı hale geldiğini ve sonsuz ve sonsuz küçüklerin hiyerarşik yapısı hakkında kesin bir şey söylemenin zorlaştığını görürüz.

Sonsuz Küçükleri İçeren Sayı Sistemleri

Laurent Serileri

Yukarıda verilen 1 numaralı negatif kuvvetli sonlu terimlerden oluşan Laurent serileridir. Örneğin, Laurent serilerinin içerdiği sabit olan 1, sadece gerçek sayı olan 1 ile tanımlanmıştır ve sadece x doğrusal terimi içeren seriler diğer sonsuz küçüklerin türetildiği en basit sonsuz küçük olarak kabul edilir. X’in büyük kuvvetlerinin küçükler ile karşılaştırıldığında yok sayılabildiği sözlüksel sıralama kullanılır. David O. Tall bu sistemi Dales ve Woodin’in süper gerçek sayı sistemiyle karıştırmamak için süper-gerçekler olarak adlandırılır. Taylor serileri savlarının hala bir Laurent serisi olması nedeniyle beraber değerlendirilmelerinden dolayı, bu sistem analitik deneyüstü fonksiyonlarda kalkülüs hesabı yapmakta kullanılabilir. Bu sonsuz küçükler, gerçek sayılardan farklı birinci dereceden özelliklere sahiptirler çünkü örneğin, temek sonsuz küçük x’in karekökü yoktur.

Levi- Civita Alanı

Levi – Civita alanı Laurent serilerine benzer ama cebirsel olarak kapalıdır. Örneğin, temel sonsuz küçük x’in bir karekökü vardır. Bu alan önemli miktarda analiz yapılmasına imkân verecek kadar büyüktür ama elemanları bilgisayarda hala gerçek sayıların kayan noktada gösterildiği gibi gösterilebilir.

Transseriler

Transslerilerin alanı Levi-Civita alanından daha da büyüktür. Bunlara örnek olarak:

$e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},$ verilebilir.

Aşkın Sayılar Conway’in aşkın sayıları 2 farklı kategoriye ayrılır. Aşkın sayılar olabildiğince fazla boyuttaki sayılar ile zengin olması için ancak analiz için bir kolaylık düşünülmeden tasarlanmıştır. Logaritmik ve üstel gibi belirli deneyüstü fonksiyonlar aşkın sayılara taşınabilir. Gerçek sayılar arasında emsalleri olanlar dahi olsa bir aşkın sayının varlığı kanıtlanmalıdır.

Süpergerçekler

Dales ve Woodin süpergerçek sayı sistemi hipersayıların genelleştirilmiş halidir. David Tall’ın geliştirdiği süper-gerçek sistemden farklıdır Kolaylaştırılmış Sonsuz küçük Analizi Sentetik differansiyel geometri veya kolaylaştırılmış sonsuz küçük analizi kategori kuramında bazı köklere sahiptir. Bu yaklaşım geleneksel matematikte kullanılan klasik mantıktan farklıdır. Bir Nilpotent sonsuz küçük kavramı otaya atılabilir. Bu x² = 0 ‘ın doğru olduğu ancak x = 0’ın doğru olmasına gerek olmadığı bir x sayısıdır. Sonsuz küçük Delta Fonksiyonları Cauchy, 1827’de sonsuz küçük $\alpha$ ‘yı kullanarak sonuzca uzun ve dar Dirac tipi fonksiyon olan $\delta _{\alpha }$ satisfying $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$ fonksiyonunu yazdı. Cauchy sonsuz küçüğü 1821’de sıfıra yönelen diziler olarak tanımlamıştır.

Mantıksal Özellikler

Sonsuz küçükleri oluşturma yöntemi model ve kullanılan belitlerin toplamına bağlı olarak değişir. Bu bölümde sonsuz küçüklerin var olduğunu gösteren sistemler ele alınacaktır. 1936’da Maltsev sıklık kuramını kanıtladı. Bu teorem onları formülize etmeye imkân tanıdığı için sonsuz küçüklerin varlığı açısından temel teoremlerdendir. Bu teoremin sonucu söyle açıklanabilir. Eğer her n pozitif tamsayısı için doğru olan bir sayı sistemi varsa 0 < x < 1/n durumunu sağlayan bir x pozitif sayısı vardır ve 0 < x < 1/n durumunun doğru olduğu herhangi bir pozitif n tamsayısını ve x pozitif sayısını içeren sistemlerde bir genişleme görülür. “Herhangi” ve “vardır” ifadelerinin değişebilme ihtimali çok önemlidir. İlk ifade ZFC küme kuramında verilen gerçek sayılar için geçerlidir. Herhangi bir pozitif n tam sayısı için sıfır ile 1/n arasında bir gerçek sayı bulmak mümkündür ancak bu gerçek sayı n’e bağımlı olacaktır. Önce n seçilir ve sonra karşılık gelen x değeri bulunur. İkinci ifade de ise herhangi bir n için 0 ve 1/n arasında önce seçilen bir x olduğunu belirtir. Bu durumda x bir sonsuz küçüktür. Bu durum ZFC tarafından verilen gerçek sayılar için doğru değildir. Yine de teorem bu durumun doğru olduğu bir sayı sistemi olduğunu kanıtlar. Asıl sorulması gereken soru bu sayı sisteminin ne olduğu ve özelliklerinin neler olduğudur. Bu tip tek boyutlu doğrusal sıralanmış bir sayı kümesi oluşturmak için birçok yöntem vardır ancak esas olarak iki farklı yaklaşım vardır:

1. Sayı sistemini gerçek sayılardan daha fazla sayıyı kapsayacak şekilde genişletmek
2. Sonsuz ve sonsuz küçükler arasındaki farkın gerçek sayılar arasında yapılabilmesine imkân sağlayacak şekilde belitleri (ya da dili) genişletmek

1960’ta Abraham Robinson ilk yaklaşıma bir cevap ortaya atmıştır. Genişletilen kümeye hipergerçekler denir ve mutlak değerce herhangi bir pozitif gerçek sayıdan daha küçük değerlere sahip sayılar içermektedir. Yöntem karmaşık görülebilir ancak ZFC küme kuramının evreninde sonsuz küçük sayıların var olduğunu kanıtlar. Gerçek sayılar standart sayılar olarak, yeni gerçek olmayan hipersayılar ise standart dışı olarak adlandırılır. 1977’de Edward Nelson ikinci yaklaşıma bir cevap ortaya atmıştır. Genişletilen belitlere Dahili Küme Teoremi adı verilir. Bu sistemde dilin sonsuz küçükleri ile ilgili durumları açıklayabilecek duruma gelene kadar genişletilmesi esas alınmıştır. Gerçek sayılar standart veya standart dışı olabilirler. Bir sonsuz küçük herhangi bir standart gerçek sayıdan daha küçük mutlak değere sahip standart dışı bir sayıdır.