Çapraz çarpım

Matematikte çapraz çarpım veya yöney çarpımı üç boyutlu uzayda iki yöney (vektör) ile yapılan bir işlemdir. Bu çarpımın sonucunda başka bir yöney elde edilir ve bu yöney çapraz çarpımda kullanılan iki yöneye de diktir. Aynı zamanda elde edilen yöney çapraz çarpımda kullanılan iki yöneyin oluşturduğu düzleme dik bir yöneydir. Bu çarpımın çapraz ismi gösterimde kullanılan "×" sembolünden gelmektedir ve her bir vektör sıralı bir şekilde diğeri ile çarpılmakta ve elde edilen yöney bu çarpan yöneylerden biri olmaktadır, yani çaprazlama yapılan modüler bir çarpım biçimidir. Yöney çarpımı ismi de işlemin sonucunda başka bir yöneyin elde edilmesinden gelmektedir. Bu işlemin matematik, fizik ve mühendislikte birçok uygulaması vardır.

Sağ elli koordinat sisteminde çapraz çarpım.

Tanım

Çapraz çarpımın sonucunda elde edilen yöneyin yönünün sağ el kuralı ile bulunması.

a ve b ile gösterilen iki yöneyin çapraz çarpımı a × b şeklinde gösterilir. Fizikte bazen çapraz çarpım a ∧ b şeklinde de gösterilir ama bu gösterim matematikte başka kullanımlarla karıştırılmaması için kullanılmaz.

a × b çapraz çarpımı c yöneyi ile tanımlanabilir ve bu c yöneyinin a ve b yöneylerine dik olması gerekmektedir. Ayrıca c yöneyinin yönü sağ el kuralı ile belirlenmelidir. c yöneyinin boyu ise a ve b yöneyi kullanılarak elde edilen paralelkenarın alanına eşittir.

Çapraz çarpım aşağıdaki denklem ile tanımlanır:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {n}$

burada θ a ve b yöneyi arasında kalan ve 180°'den küçük olan açıdır. (0° ≤ θ ≤ 180°), a ve b; a ve b yöneylerinin boylarına karşılık gelmektedir (a = |a| ve b = |b|) ve n yöneyi a ve b'nin oluşturduğu yüzeye dikme olan birim yöneydir ve yönü sağ el kuralı kullanılarak bulunur. Eğer a ve b parallelse (ikisinin arasındaki açı θ, 0° veya 180° ise), yukarıdaki denklemden yola çıktığımızda a ve b'nin çapraz çarpımının 0 (sıfır) olduğunu görürüz.

n birim yöneyinin yönü sağ el kuralı ile bulunur; çapraz çarpımdaki ilk yöney a doğrultusunda işaret parmağımızı, çapraz çarpımdaki ikinci yöney b doğrultusunda orta parmağımızı uzattığımızda başparmağımızın yönü n birim yöneyinin yönünü gösterir. Parmakların yönelimi ve yöneylerin doğrultusu yandaki çizimde gösterilmiştir. Çapraz çarpımda, çarpımda kullanılan iki yöneyin yerleri değiştirilirse sonucun ilk işlemde elde edilen sonucun eksi işaretlisi olduğu görülür ve bu karşı-değişme özelliği olarak tanımlanır ve bu durum matematiksel olarak b × a = −(a × b) şeklinde gösterilir.

En başta tanımlanırken de belirtildiği üzere sağ elli mi sol elli mi koordinat sisteminin kullanıldığı önemlidir. Yukarıda belirtildiği şekilde n birim yöneyinin yönü sağ elli koordinat sisteminde sağ el kuralı kullanılarak bulunmuştur. Eğer sol elli bir koordinat sistemi kullanılsaydı o zaman da sağ el kullanılarak yapılan işlemin sol el kullanılarak yapılması gerekirdi ve n birim yöneyinin yönü bulunmuş olurdu.

Ayna yansıması kullanılarak elde edilen sistemde bu durum sorun yaratmaktadır. Bir yöneyin yönü ayna yansıması düşünüldüğünde değişmez (fizik) olarak kalmalıdır. Ama ayna yansıması şeklinde elde edilen koordinat sistemi sol ellidir ve çapraz çarpım düşünüldüğünde elde edilen sonucun yönü tersine döner. Bu durum yöneylerin ayna yansımasının düşünülmesi durumuyla uyuşmamaktadır. Bu uyuşmazlık çapraz çarpımla elde edilen yöneylerin yalancıyöney (pseudovector) olarak tanımlanması ile çözümlenmiştir.

Çapraz çarpımın hesaplanması

Koordinat gösterimi

Kartezyen koordinat sisteminin birim yöneyleri i, j ve k için aşağıdaki özellikler tanımlanır:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \quad \ \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} \quad \ \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} .$

Bu tanımlamalar ve çapraz çarpımın özellikleri kullanılarak aşağıdaki denklemler elde edilir:

$\mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k} \quad \ \mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i} \quad \ \mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} ,$

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .$.

Bunlar kullanılarak da herhangi a = a₁i + a₂j + a₃k ve b = b₁i + b₂j + b₃k şeklinde yazılan iki yöney için çapraz çarpım aşağıdaki gibi hesaplanır:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =&(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )\\=&a_{1}b_{1}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +a_{1}b_{2}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +a_{1}b_{3}\mathbf {i} \times \mathbf {k} +\\&a_{2}b_{1}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +a_{2}b_{2}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +a_{2}b_{3}\mathbf {j} \times \mathbf {k} +\\&a_{3}b_{1}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +a_{3}b_{2}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +a_{3}b_{3}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\=&a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} +a_{1}b_{3}(-\mathbf {j} )+a_{2}b_{1}(-\mathbf {k} )+a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{3}b_{2}(-\mathbf {i} )+a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\=&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\\\end{aligned}}$

Bu sonuç yöneylerin kolon şeklindeki gösterimi kullanılarak da aşağıdaki gibi yazılabilir:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}.$

Dizey gösterimi

Çapraz çarpım bir dizeyin belirtkeni (determinantı) ile de gösterilebilir:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}.$

Bu belirtken Sarrus kuralı veya Laplace açılımı ile hesaplanabilir.

Sarrus kuralı ile yazdığımızda

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}.$

açılımı elde ederiz.

Laplace açılımı ile en üsteki satırı kullanarak

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k}$

yazımını elde ederiz. Burada ikili kare dizeylerin tekrar belirtkeni hesaplanmalıdır.

Özellikleri

Geometrik anlamı

Şekil 1. Çapraz çarpım ile paralelkenarın alanı

Şekil 2. Üç yöneyden elde edilen prizma

Çapraz çarpımın büyüklüğü a ve b yöneylerinin paralelkenara tamamlanarak elde edilen paralelkenarın alanına eşittir ve aşağıdaki şekilde gösterilir (Şekil 1):

$A=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!$

Yukarıdaki denklemden de görüleceği üzere büyüklüğü yazarken iki yöneyin arasında kalan açının sinüsü kullanılmıştır. b yöneyi ile Şekil 1 de gösterilen açının sinüsünün çarpımını düşünelim

$|\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!$

Bu çarpım b yöneyinin a yöneyine dik olan bileşenini verir. Birbirine dik olan iki yöneyin büyüklüklerinin çarpımı da o yöneyler kullanılarak elde edilen paralelkenarın alanını verir.

Eğer iki yöneyimiz de birbirine dik ise (arada kalan açı 90 derece) sinüs ifadesi 1'e eşittir ve iki yöneyin büyüklüklerinin çarpımı oluşan diktörtgenin alanına eşittir.

a, b ve c yöneylerinden oluşturulan pirizmanın oylumu (hacmi) da bir çapraz çarpım bir de nokta çarpım ile bulunabilir (Şekil 2) ve aşağıdaki şekilde yazılır:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

Burada dikkat edilmesi gereken bu üçlü çarpımın sonucunun eksi olabileceğidir ve oylumun büyüklüğü daima artı değere sahip olacağı için oylum

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

şeklinde gösterilir.

İşlem özellikleri

Çarpraz çarpım eksi yerdeğiştirme özelliğine sahiptir,

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} ,$

toplama üzerine dağılma özelliğine sahiptir,

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),$

ve bir sayıl ile çarpılması aşağıdaki gibidir

$(r\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\mathbf {b} )=r(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

Birleşme özelliğine sahip değildir. Diğer taraftan, Jakobi özdeşliği ile üçlü çapraz çarpımda sıra değiştirme işlemi yapılabilir:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .$

Çapraz çarpımda sadeleştirme işlemi yapılmaz: a × b = a × c ise, a yöneyi sıfırdan farklı olduğu durumlarda b = c koşulu zorunlu değildir. Bazı durumlarda b = c olsa bile, her durumda olmak zorunda değildir. Bunun yerine a × b = a × c olduğu durumda aşağıdaki işlem gerçekleştirilebilir:

${\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}$

Yukarıdaki işlemde, a veya b - c sıfırdan farklı ise a ve b - c arasındaki açı sıfırdır. Açı sıfır ise de birbirlerine ya paraleldirler ya da antiparaleldirler.

Uzam (geometrik) tanımı düşünüldüğünde a × b çapraz çarpımı, a × b işlemi sonucu elde edilen yeni yöney etrafında dönderildiğinde sonuçta herhangi bir değişim olmaz. Bu duruma benzer bir durum, $\scriptstyle M$ dizeyi ile gösterilen dönüşüm düşünüldüğünde aşağıdaki şekilde gösterilebilir.

$(M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)M^{-T}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

yukarıdaki yazımda $\scriptstyle M$ dizeyi 3'e 3 bir dizeydir ve $\scriptstyle M^{-T}$, $\scriptstyle M$ dizeyinin tersçaprazıdır. $\scriptstyle M$ dizeyi dönüşüme karşılık gelirken; $\scriptstyle M^{-T}$ dizeyi, $\scriptstyle M$ dizeyi ile elde edilen dönüşümün tersine karşılık gelmektedir. Yukarıdaki denkliği kelimelerle anlatırsak; a ve b yöneylerinin ayrı ayrı $\scriptstyle M$ dizeyi ile dönüşümü alındıktan sonra elde edilen yöneylerin çapraz çarpımı, a × b çapraz çarpımı yapıldıktan sonra $\scriptstyle M^{-T}$ dizeyi ile yapılan dönüşüm birbirine denktir. Burada $(\det M)$ dizeyin belirtkeninin (determinantının) 1'den farklı olması durumunda eşitliğin bozulmaması için konulmuştur. $\scriptstyle M$ dizeyinin belirtkeni 1'den farklı ise, bir yöneyin $\scriptstyle M$ dizeyi ile dönüşümü yapıldığında yöneyin boyu değişmektedir.

İki yöneyin çapraz çarpımı, 3 boyutlu uzayda daima iki yöney kullanılarak yazılan sütun şeklindeki dizeyin boşuzayındadır. Bu durum aşağıdaki şekilde gösterilir:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).$

İki çapraz çarpımın toplamı için aşağıdaki özdeşlik geçerlidir:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .$

Ayrıca bakınız

• Kartezyen çarpım – iki kümenin bir çarpımı
• Nokta çarpım
• Çoklu çapraz çarpımlar – üç vektörden daha fazla çarpım içeriyor
• × (sembolü)

Kaynakça

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. s.  134. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.
• Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Yale University Press. 

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Cross product", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Cross Product (MathWorld)
• A quick geometrical derivation and interpretation of cross products25 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 5 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (it is only possible in 7-D space)
• Real and Complex Products of Complex Numbers 8 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
• W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF). 10 Eylül 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.