Üst ve alt sınır

Matematikte bir (P, ≤) kısmi sıralı kümesine ait S alt kümesinin üst sınırı, S'nin her elemanına eşit ya da ondan büyük olan P elemanı, alt sınır ise S'nin her elemanına eşit ya da ondan küçük olan P elemanı olarak tanımlanmaktadır. Üst sınırı olan bir küme üstten sınırlı, alt sınırı olan bir küme de alttan sınırlı olarak adlandırılmaktadır.

Özellikler

Bir P kısmi sıralı kümesine ait S alt kümesi herhangi bir sınıra sahip olmayabilir ya da farklı üst ve alt sınırlar bulundurabilir. Geçişlilik özelliğinin sonucu olarak, S'nin üst sınırına eşit ya da ondan büyük her değer S'nin üst sınırı, S'nin alt sınırına eşit ya da ondan küçük her değer S'nin alt sınırı olacaktır.

Bir P kısmi sıralı kümesine ait S alt kümesinin sınırları S'nin elemanı olmayabilir. S bir üst sınıra sahipse, eşsiz olan bu üst sınır S'nin en büyük elemanı olarak adlandırılır. Bu değer (tanımlıysa) S'nin en küçük üst sınırıdır. Bir alt kümenin alt ve üst sınır kümelerinin eşit olması özel bir durumdur ve Dedekind kesimi terimiyle açıklanır.

Bir P kısmi sıralı kümesine ait Φ boş alt kümesinin alttan ve üstten sınırlı olduğu kabul edilmektedir. Bu durumda, P'nin her elemanı Φ için bir alt ve üst sınır ifade etmektedir.

Örnekler

2 ve 5 {5, 10, 34, 13934} kümesinin alt sınırlarıyken 8 böyle bir özellik taşımamaktadır. {42} kümesinin ise alt ve üst sınır değeri 42'dir. Diğer tüm sayılar bu kümenin alt ya da üst sınırından yalnızca birini karşılayabilirler.

Doğal sayılar kümesinin en küçük elemanının tanımlı oluşu (tanıma göre 0 ya da 1) bu kümenin bir alt sınırı olduğunu kanıtlamaktadır. Bir tümden sıralı kümenin tüm sonlu alt kümeleri alt ve üst sınıra sahiptir.

Doğal sayılar kümesinin sonsuz alt kümelerinin üst sınırı bulunmamaktadır. Tam sayılar kümesinin sonsuz alt kümeleri ise alttan ya da üstten sınırlı olabilirler. Rasyonel sayılar kümesinin sonsuz alt kümeleri alttan ya da üstten sınırlı ya da sınırsız olabilmektedir.

İşlev sınırları

İşlevleri F tanım kümesi ve bir kısmi sıralı değer kümesinde tanımlı S kümesi için, S'de tanımlı her f işlevi ve F'de tanımlı her x

$f(x)\leq g(x)$

koşulunu sağlıyorsa, $G\supseteq F$ kümesinde tanımlı bir g işlevi S'nin üst sınırı olur. Özetle, S'de tanımlı tek bir f işlevi bulunuyorsa g, f'nin üst sınırı olarak adlandırılır. Ne var ki bu, f'nin g'ye ait bir alt sınır olduğu anlamına gelmemektedir.

Kaynakça

• B. A. Davey & H. A. Priestley (2002). Introduction to Lattices and Order (2 bas.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.