Geometri 'de, bir küre 'nin hacmi için bir özel durum n -boyutlu Euclid uzayı içindeki bir kürenin n -boyutlu hacmidir .
n -kürenin hacimlerinin türevleri
değiştir
n -kürenin yarıçapı r . olmak üzere V (n ) [r ], n -küre
hacmi
V
(
1
)
[
r
]
=
2
r
{\displaystyle V^{(1)}[r]=2r\,}
Çünkü bu yarıçapın iki katı uzunlukta düz bir çizgidir i.e.
{
x
∈
R
:
|
x
|
≤
r
}
.
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :|x|\leq r\}.}
n ≥ 1 için:
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
∫
−
r
r
V
(
n
)
[
r
2
−
x
2
]
d
x
.
{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]\,dx.}
n inci kuvvetten yarıçaplı hacim
değiştir
n inci kuvvetten yarıçaplı n-küre 'nin hacmini indüksiyon yoluyla gösterebiliriz .Tek boyutludan yararlanmak n boyutlu çıkarımlar için destek olur:
V
(
n
)
[
r
]
=
r
n
V
(
n
)
[
1
]
.
{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].\,}
Buradan:
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
∫
−
r
r
V
(
n
)
[
r
2
−
x
2
]
d
x
,
{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]dx,}
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
r
∫
−
1
1
V
(
n
)
[
r
2
−
(
r
x
)
2
]
d
x
,
{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]\,dx,}
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
r
∫
−
1
1
V
(
n
)
[
r
(
1
−
x
2
)
]
d
x
,
{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx,}
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
r
∫
−
1
1
r
n
V
(
n
)
[
(
1
−
x
2
)
]
d
x
=
r
n
+
1
V
(
n
+
1
)
[
1
]
.
{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].}
Biz şimdi bütün n ≥ 1,için n inci kuvvetten yarıçap uzunlukluklu n -kürenin hacmini; birim kürenin hacmini n -kürenin
V
(
n
)
{\displaystyle V^{(n)}}
V
(
n
)
[
r
]
=
r
n
V
(
n
)
,
{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)},\,}
V
(
n
+
1
)
=
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
n
V
(
n
)
d
x
,
{\displaystyle V^{(n+1)}=\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}V^{(n)}\,dx,}
V
(
n
+
1
)
=
V
(
n
)
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
n
d
x
.
{\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}\,dx.}
V
(
2
)
{\displaystyle V^{(2)}}
V
(
2
)
=
V
(
1
)
∫
−
1
1
1
−
x
2
d
x
=
2
x
1
−
x
2
+
arcsin
x
2
|
x
=
−
1
1
=
π
,
{\displaystyle V^{(2)}=V^{(1)}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=2\left.{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}\right|_{x=-1}^{1}=\pi ,}
birim çember bölgesinden, son türevler(çıkarımlar)'la, birim küre hacmi, kolayca:
V
(
3
)
=
V
(
2
)
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
d
x
=
4
3
π
.
{\displaystyle V^{(3)}=V^{(2)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)dx={\frac {4}{3}}\pi .}
Genlleştirilmiş herhangi boyutta bir türevlerini denemek için:
V
(
n
+
1
)
=
V
(
n
)
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
n
/
2
d
x
=
V
(
n
)
⋅
2
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
n
/
2
d
x
{\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx}
Burada integrandın davranışını grafik yoluyla kolayca görselleştirebiliriz:
Görüldüğü gibi, hiperküre boyut sayısı arttıkça sıkıştıkça sıkışır.
u değişken değiştirmesi koyarak = 1 − x 2 :
x
=
1
−
u
ve
d
x
=
−
d
u
2
1
−
u
{\displaystyle x={\sqrt {1-u}}{\text{ ve }}dx={\frac {-du}{2{\sqrt {1-u}}}}}
V
(
n
+
1
)
=
V
(
n
)
⋅
2
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
n
/
2
d
x
=
V
(
n
)
∫
0
1
u
n
/
2
(
1
−
u
)
−
1
/
2
d
u
{\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}\,dx=V^{(n)}\int _{0}^{1}u^{n/2}(1-u)^{-1/2}\,du}
integral'in sağı beta fonksiyonu olarak bilinir:
V
(
n
+
1
)
=
V
(
n
)
B
(
n
2
+
1
,
1
2
)
,
{\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),}
gama fonksiyonu terimleri ile de gösterilebilir:
V
(
n
+
1
)
=
V
(
n
)
Γ
(
n
2
+
1
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
n
2
+
3
2
)
.
{\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}
Bütün l n ≥ 1 için
Γ
(
1
2
)
=
π
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}
induksiyon 'la kolayca doğrulanabilir:
V
(
n
)
=
π
n
/
2
Γ
(
n
2
+
1
)
.
{\displaystyle V^{(n)}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}
n -kürenin "yüzey alanı" ("n" − 1)-boyutlu (n − 1)-kürenin hacim ölçümü,n-küre hacimli kürenin yarıçapı ile kolayca bulunabilir .
Bu nedenle n -küre yarıçapı r ile gösterirsek
V
(
n
)
[
r
]
=
π
n
/
2
r
n
Γ
(
n
2
+
1
)
,
{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}
Buradan "yüzey alanı"
S
(
n
−
1
)
[
r
]
=
∂
∂
r
V
(
n
)
[
r
]
=
π
n
/
2
n
r
n
−
1
Γ
(
n
2
+
1
)
=
2
π
n
/
2
r
n
−
1
Γ
(
n
2
)
.
{\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}
p ≠ 2 üzerindeki durumlarda integrasyon metodu,Lp kürelere taşınmalıdır göründüğü gibi sorun pek kolay değil, bu problemin bilgi teorisi ve kodlama teorisi için çok büyük önemi vardır. Nükleer patlamalarda atomaltı kuvvetlerin kuvvetlerin simülasyonunda saçılma kesrinin Çok boyutlu hiperküre hacminin doğru ve titiz hesaplanmasıyla alakalıdır. Ayrıca, başlangıç ifadeler (n) karmaşık analitik sürekli oldukları için boyutsal düzenleme 'de ve standart model 'de temel parçacıklarla ilgili hesaplamalarda temel bir adım olarak kullanılır.
![{\displaystyle V^{(1)}[r]=2r\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff74d2bace2394610e93992d0b95ea11aacff63)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3d1a51e545fe717d998be00e6d756a4b7ca8eb)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0c2acc2d0ade90046d2463c9265a3b8b902dce)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f6174eac450e13718c53a5a69a1f2a136ebba5)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4b7ef690ddca510b36be50299396c40300b5bc)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6264a0bfa44570b295a07a4b300871b2ab6e068e)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cd15d1c4ce46d9bb983e6d83d24786d9d7b9e9)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44de1704103992411f27387831060a2e0947611a)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acfc413a3e529dbabd6de330c9f7130511fbe9a)
![{\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee2e5b01f1e44e7059b3d0f37cd16d71cad16b4)