Поле часток

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Побудова

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

• Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Визначивши додавання і множення на елементах E наступним чином

• Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
• Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається ${\frac {a}{b}}$, дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості :

• Скорочення дробу : для ненульового c , ${\frac {ca}{cb}}={\frac {a}{b}}$ ;
• комутативність і асоціативність операцій ;
• існування нульового елемента ${\frac {0}{x}}$ для додавання:

${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{x}}={\frac {ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$

• існування одиниці ${\frac {x}{x}}$ при множенні:

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{c}}={\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}$

• існування елемента ${\frac {-a}{b}}$ — оберненого при додаванні до ${\frac {a}{b}}$ ;

${\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {0}{b^{2}}}$

• існування елемента ${\frac {b}{a}}$ оберненого при множенні до ${\frac {a}{b}}$ ;

${\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}$

• Дистрибутивність множення відносно додавання :

${\frac {a}{b}}{\frac {e}{f}}+{\frac {c}{d}}{\frac {e}{f}}={\frac {aedf+cebf}{bfdf}}={\frac {(ad+cb)e}{bdf}}=({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}){\frac {e}{f}}$

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам $a\in A$ області цілісності відповідають елементи ${\frac {a}{1}}$ поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

Приклади

• Полем часток для кільця $\mathbb {Z}$ цілих чисел є поле $\mathbb {Q}$ раціональних чисел .
• Нехай $R:={a+bi|a,b\in \mathbb {Z} }$ — кільце гаусових цілих чисел. Тоді $Quot(R)={c+di|c,d\in \mathbb {Q} }$ — поле гаусових раціональних чисел.
• Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
• Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).

Див. також

• Повне кільце часток

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)