Гомоморфізм

В алгебрі гомоморфізм — це зберігаюче структуру відображення^[en] між двома алгебричними структурами того ж самого типу (наприклад, двома групами, двома кільцями, двома векторами просторами).

Слово гомоморфізм у перекладі з давньогрецької грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма, вид.^[1] Цей термін з'явився ще в 1892, його припусували німецькому математику Феліксу Клейну (1849—1925).^[2]

Гомоморфізми двох векторних просторів також називають лінійними відображеннями, а їх дослідженнями займається лінійна алгебра.

Поняття гомоморфізму було узагальнено під назвою морфізм для багатьох структур, що не мають множини-носія або не є алгебраїчними. Це узагальнення — відправна точка теорії категорій

Гомоморфізм може також бути ізоморфізмом, ендоморфізмом, автоморфізмом і т.п. (дивись нижче). Кожен з цих гомоморфізмів може бути визначений способом, який можна узагальнити до будь-якого класу морфізмів.

Означення

Гомоморфізм — це відображення між двома алгебричними структурами одного типу (з однаковими назвами), що зберігає операції цих структур. Це означає відображення $f\colon A\rightarrow B$ між двома множинами $A$ , $B$ , які мають однакові структуру такі, що якщо $\cdot$ — операція цієї структури (для спрощення вважаємо її бінарною операцією), тоді

f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)

для будь-якої пари елементів $x$ , $y$ множини $A$ .^{[note 1]} Часто говорять, що гомоморфізм $f$ зберігає операцію або сумісний з операцією.

Формально, відображення $f\colon A\rightarrow B$ зберігає операцію $\mu$ арності $k$ , яка визначена на обох множинах, якщо

f(\mu _{A}(a_{1},\dots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{k}))

,

для всіх елементів $a_{1},\dots ,a_{k}$ множини $A$ .

Операції, що повинні зберігатися при гомоморфізмі, включають 0-арні операції, тобто константи. Зокрема, коли нейтральний елемент вимагається типом структури, то нейтральний елемент першої структури має відображатися в відповідний нейтральний елемент другої структури.

Наприклад,

Гомоморфізм напівгруп — це відображення між напівгрупами, що зберігає операції напівгруп.
Гомоморфізм моноїдів^[en] — це відображення між моноїдами, що зберігає операції моноїдів та відображає нейтральний елемент першого моноїду у нейтральний елемент другого моноїду (нейтральний елемент це 0-арна операція).
Гомоморфізм груп — це відображення між двома групами, що зберігає операції груп.

З цього випливає, що гомоморфізм груп відображає нейтральний елемент першої групи у нейтральний елемент другої групи, та відображає обернений елемент першої групи у обернений образ цього елемента. Тому, гомоморфізм напівгруп між групами обов'язково є гомоморфізмом груп.

Гомоморфізм кілець — це відображення між кільцями, що зберігає додавання в кільцях, множення в кільцях та мультиплікативні тотожності.
Лінійне відображення — це гомоморфізм векторних просторів, тобто гомоморфізм груп між векторними просторами, що зберігає структури абелевих груп та множення на скаляр.
Гомоморфізм модулів^[en], також називають лінійним відображення між модулями, визначають аналогічним чином.
Гомоморфізм алгебр(інші мови) — це відображення, що зберігає операції алгебри.

Алгебраїчна структура може мати більше однієї операція та гомоморфізм повинен зберігати кожну операцію. Таким чином, відображення, що зберігає тільки деякі операції не є гомоморфізмом структури, але лише гомоморфізмом субструктури, що отримується при розгляді лише збережених операцій. Наприклад, відображення між моноїдами, що зберігає операцію моноїда, а не нейтральний елемент, не є гомоморфізмом моноїду, але є гомоморфізмом напівгрупи.

При гомоморфізмі між алгебричними структурами позначення операцій в них не обов'язково повинні збігатися. Наприклад, дійсні числа утворюють групу з операцією додавання, а додатні дійсні числа утворюють групу з операцією множення. Експонента

x\mapsto {\rm {e}}^{x}

задовольняє співвідношення

{\rm {e}}^{x+y}={\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{y}

та визначає гомоморфізм між цими двома групами. Більш того, це навіть ізоморфізм (дивись нижче), бо її обернена функція (натуральний логарифм) задовольняє співвідношення

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)

і це також гомоморфізм між групами.

В термінах універсальної алгебри, це відображення^[en] $\phi \colon A\rightarrow B$ , алгебричної системи $A$ в алгебраїчну систему $B$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))

для кожної $n$ -арної операції $f$ і $\forall x_{i}\in A$ .

Базові приклади

Гомоморфізм моноїду

f

з моноїду

(\mathbb {N} ,+,0)

у моноїд

(\mathbb {N} ,\times ,1)

визначається функцією

f(x)=2^{x}

. Гомоморфізм є ін'єктивним, але не є сюр'єктивним.

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх $2\times 2$ матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}

де $r$ дійсне число. Тоді $f$ — гомоморфізм кілець, бо $f$ зберігає і додавання:

f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)

і множення:

f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію $f$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

f(z)=|z|.\,\!

Де, $f(z)$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа $z$ . Тоді $f$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).

Зауважте, що $f$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.

Як приклад на діаграмі показано гомоморфізм моноїду $f$ від моноїду $(\mathbb {N} ,+,0)$ до моноїду $(\mathbb {N} ,\times ,1)$ . Завдяки різним назвам відповідних операцій, властивості збереження структури, яким задовольняє $f$, запишуться як $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ та $f(0)=1$ .

Композиційна алгебра $A$ над полем $\mathbb {F}$ має квадратичну форму, яка називається нормою, $N\colon A\rightarrow \mathbb {F}$ , яка є груповим гомоморфізмом з мультиплікативної групи^[en] алгебри $A$ у мутиплікативну групу поля $\mathbb {F}$ .

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебричних структур має свій гомоморфізм:

Часткові випадки

Декілька видів гомоморфізму мають спеціальні назви, які також визначаються для загальних морфізмов.

Ізомормізм

Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.^[3]^:134 ^[4]^:28 Ізоморфізм між алгебричними структурами одного типу зазвичай визначають як бієктивний гомоморфізм.

У більш загальному контексті теорії категорій ізоморфізм визначається як морфізм, який має обернене відображення, яке також є морфізмом. У випадку алгебраїчних структур ці два означення є еквівалентними, хоча вони можуть відрізнятися для неалгебраїчних структур, які мають множину-носія.

Точніше, якщо

f\colon \ A\to B

є (гомо)морфізмом, то він має обернений, якщо існує гомоморфізм

g\colon \ B\to A

такий, що

f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\quad {\text{та}}\quad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.

Якщо $A$ та $B$ мають множини-носії та $f\colon A\to B$ має обернене відображення $g$ , тоді $f$ є бієктивним. Дійсно, $f$ є ін'єктивним, оскільки з $f(x)=f(y)$ випливає, що $x=g(f(x))=g(f(y))=y$ , та $f$ є сюр'єктивним, так як для будь-якого $x$ з $B$ маємо, що $x=f(g(x))$ , і $x$ є образом елемента з $A$ .

Навпаки, якщо $f\colon A\to B$ — бієктивний гомоморфізм між алгебраїчними структурами, нехай $g\colon B\to A$ — таке відображення, щоб $g(y)$ єдиний елемент $x$ з $A$ такий, що $f(x)=y$ . Маємо, що $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}$ та $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}$ , і залишається лише показати, що $g$ є гомоморфізмом. Якщо $*$ є бінарною операцією структури, то для будь-якої пари $x$ , $y$ елементів з $B$ маємо:

g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))))=g(x)*_{A}g(y)

і, таким чином, $g$ сумісний з операцією $*$ . Оскільки доведення аналогічне для будь-якої арності, то це означає, що $g$ — гомоморфізм.

Це доведення не працює для неалгебраїчних структур. Наприклад, для топологічних просторів морфізм є неперервним відображенням, а обернене до бієктивного неперервного відображення не обов'язково є неперервним. Ізоморфізм топологічних просторів, який називається гомеоморфізмом або бінеперервним відображенням, таким чином, є бієктивним неперервним відображенням, обернене до якого також є неперервним.

Ендоморфізм

Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе. Ендоморфізм — це гомоморфізм, область визначення якого збігається з кообластю^[en], або, в більш загальному сенсі, морфізм, джерело якого дорівнює цілі.^[3]^:135

Ендоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють моноїд за композицією.

Ендоморфізми векторного простору або модуля утворюють кільце. У випадку векторного простору або вільного модуля скінченної розмірності, вибір базису індикує ізоморфізм кільця між кільцем ендоморфізмів і кільцем квадратних матриць тієї ж розмірності.

Автоморфізм

Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.^[3]^:135 Автоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють групу за композицією, яка називається групою автоморфізмів структури.

Багато іменних груп є групами автоморфізмів деякої алгебричної структури. Наприклад, загальна лінійна група ${\rm {GL}}_{n}(k)$ — група автоморфізмів векторного простору розмірності $n$ над полем $k$ .

Групи автоморфізмів полів були введені Еваристом Галуа при дослідженні коренів многочленів і є основою теорії Галуа.

Мономорфізм

Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.^[3]^:134 ^[4]^:29 У загальному контексті теорії категорій мономорфізм визначається як морфізм, який є лівим скороченням.^[5] Це означає, що (гомо)морфізм $f\colon A\to B$ є мономорфізмом, якщо для будь-якої пари морфізмів $g$ , $h$ з будь-якого іншого об'єкта $C$ в $A$ , з $f\circ g=f\circ h$ випливає, що $g=h$ .

Ці два означення мономорфізму еквівалентні для всіх загальних алгебраїчних структур. Точніше, вони еквівалентні для полів, для яких будь-який гомоморфізм є мономорфізмом, і для многовидів універсальної алгебри, тобто алгебраїчних структур, для яких операції і аксіоми (тотожності) визначаються без будь-яких обмежень (поля не утворюють многовидів, так як мультиплікативні обернені визначаються або як унітарна операція, або як властивість множення, які в обох випадках визначаються тільки для ненульових елементів).

Зокрема, два означення мономорфізму еквівалентні для множин, магм, напівгруп, моноїдів, груп, кільць, полів, векторних просторів і модулів.

Розщеплений мономорфізм^[en] — це гомоморфізм, який має лівий обернений, і, таким чином, сам є правим оберненим цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм $f\colon A\to B$ є розщепленим мономорфізмом, якщо існує гомоморфізм $g\colon B\to A$ такий, що $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}$ . Розщеплений мономорфізм завжди є мономорфізмом для обох значень мономорфізму. Для множин і векторних просторів будь-який мономорфізм є розщепленим мономорфізмом, але ця властивість не виконується для більш загальних алгебраїчних структур.

Епіморфізм

Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм. В алгебрі епіморфізми часто визначаються як сюр'єктивні гомоморфізми.^[3]^:134^[4]^:43 З іншого боку, в теорії категорій епіморфізми визначаються як скоротні справа морфізми^[5]. Це означає, що (гомо)морфізм $f\colon A\to B$ є епіморфізмом, якщо для будь-якої пари $g$ , $h$ морфізмів з $B$ до будь-якого іншого об'єкта $C$ , рівність $g\circ f=h\circ f$ означає $g=h$ .

Сюр'єктивний гомоморфізм завжди є скоротним справа, але ця домовленість не завжди вірна для алгебраїчних структур. Однак, два визначення епіморфізму тотожні для множин, векторних просторів, абелевих груп, модулів (див. нижче для доведення) і груп. Важливість цих структур у всій математиці, і особливо в лінійній алгебрі та гомологічній алгебрі, може пояснити співіснування двох нетотожних визначень.

Алгебраїчні структури, для яких існують несюр'єктивні епіморфізми, включають напівгрупи і кільця. Основним прикладом є те що цілі числа входять до раціональних чисел, що є гомоморфізмом кілець і мультиплікативних напівгруп. Для обох структур це мономорфізм і не сюр'єктивний епіморфізм, але не ізоморфізм.^[5]^[6]

Широким узагальненням цього прикладу є локалізація кільця мультиплікативною множиною. Кожна локалізація — це кільцевий епіморфізм, який, в загальному випадку, не сюр'єктивний. Оскільки локалізації є фундаментальними в комутативній алгебрі та алгебричній геометрії, це може пояснити, чому в цих областях визначення епіморфізмів як скоротних справа гомоморфізмів, як правило, є кращим.

Розділений епіморфізм^[en] — це гомоморфізм, що має праве обернення і, таким чином, сам по собі є лівим оберненням від цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм $f\colon A\rightarrow B$ є розділеним епіморфізмом, якщо існує гомоморфізм $g\colon B\rightarrow A$ такий, що $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.$ Розділений епіморфізм завжди є епіморфізмом для обох значень епіморфізму. Для множин та векторних просторів, будь-який епіморфізм це розділений епіморфізм, та ця властивість не буде виконуватися для всіх алгебраїчних структур.

У підсумку, маємо

розділений епіморфізм

\Rightarrow

епіморфізм(сюр'єктивний)

\Rightarrow

епіморфізм (скоротний справа)

останнє значення - еквівалентність множин, векторних просторів, модулів і абелевих груп; перше значення - еквівалентність множин і векторних просторів.

Ядро та образ гомоморфізму

Гомоморфізм $\phi \colon A\rightarrow B$ визначає відношення еквівалентності $\sim$ в $A$ так:

x\sim y\ \iff \ \phi {(x)}=\phi {(y)}.

Відношення $\sim$ називається ядром $\phi$ .

Фактор-множина $X/\!\sim$ ізоморфна образу $\phi$ .

Властивості

Множина всіх ендоморфізмів множини $X$ утворює моноїд, позначається $\operatorname {End} (X)$ .
Множина всіх автоморфізмів множини $X$ утворює групу, позначається $\operatorname {Aut} (X)$ .

Практичне значення

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також

Примітки

↑ Fricke, Robert (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. B.G. Teubner. OCLC 29857037.
↑
Див.:
- Ritter, Ernst (1892). Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze [The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 1—82. doi:10.1007/BF01443449. S2CID 121524108. From footnote on p. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a holohedric isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", …)
- Fricke, Robert (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 443—468. doi:10.1007/BF01443421. S2CID 120022176. From p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ₍₆₃₎ is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.) From footnote on p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)
↑ ^а ^б ^в ^г ^д Birkhoff, Garrett (1967), Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 25 (вид. 3rd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630
↑ ^а ^б ^в Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
↑ ^а ^б ^в Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Т. 5. Springer-Verlag. Exercise 4 in section I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.
↑ Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Pure and Applied Mathematics. Т. 235. New York, NY: Marcel Dekker. с. 363. ISBN 0824704819. Zbl 0962.16026.

Нотатки

↑ Як це часто буває, але не завжди, тут використовуються однакові символи для операції для обох множин $A$ та $B$ .

Цитування

Література

Українською

(укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)

[1] Fricke, Robert (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. B.G. Teubner. OCLC 29857037.

[2] Див.:
Ritter, Ernst (1892). Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze [The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 1—82. doi:10.1007/BF01443449. S2CID 121524108. From footnote on p. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a holohedric isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", …)

Fricke, Robert (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 443—468. doi:10.1007/BF01443421. S2CID 120022176. From p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ₍₆₃₎ is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.) From footnote on p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)

[3] Ritter, Ernst (1892). Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze [The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 1—82. doi:10.1007/BF01443449. S2CID 121524108. From footnote on p. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a holohedric isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", …)

[4] Fricke, Robert (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 443—468. doi:10.1007/BF01443421. S2CID 120022176. From p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ₍₆₃₎ is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.) From footnote on p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)

[Birkhoff.1967-4] а ^б ^в ^г ^д Birkhoff, Garrett (1967), Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 25 (вид. 3rd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630

[Burris.Sankappanavar.2012-5] а ^б ^в Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.

[workmath-6] а ^б ^в Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Т. 5. Springer-Verlag. Exercise 4 in section I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.

[7] Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Pure and Applied Mathematics. Т. 235. New York, NY: Marcel Dekker. с. 363. ISBN 0824704819. Zbl 0962.16026.

[3] Як це часто буває, але не завжди, тут використовуються однакові символи для операції для обох множин $A$ та $B$ .

[1]

[2]

[note 1]

[3]

[4]

[5]

[6]