Круг

Круг, кружа́ло або диск (від лат. discus, що походить від грец. δίσκος — «тарілка») — геометрична фігура, обмежена колом.

Круг

Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центра круга) не перевищує заданої відстані (радіуса круга).

Також круг можна означити як частину площини, що обмежена колом і об'єднана з самим цим колом. ^{:стор.156}

Коло є межею круга.

Круг називається замкненим або відкритим в залежності від того чи містить він коло, яке його обмежує. В декартових координатах, відкритий круг з центром $(a,b)$ та радіусу R задається формулою

$D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}$

Закритий круг задається нестрогою нерівністю

${\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leqslant R^{2}\}.$

Куля є узагальненням поняття круга на метричний простір.

Інколи замість терміну круг використовують термін диск.

Термінологія

Центр, радіус, хорда і діаметр кола є центром, радіусом, хордою та діаметром відповідного круга.

Частини круга:

1. 1 Круговий сектор — частина круга, що обмежена двома його радіусами та дугою кола між цими радіусами.
   Також, круговий сектор — частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута. ^{:стор.424}
   Площу сектора круга радіуса $R$ можна визначити за формулою: ^{:стор.157}

$S_{\text{сект.}}={\frac {\pi \cdot R^{2}}{360}}\cdot \alpha ={\frac {\varphi \cdot R^{2}}{2}}$
де $\alpha$ — градусна міра центрального кута;
$\varphi$ — міра центрального кута в радіанах.

1. 2 Круговий сегмент — частина круга, що обмежена дугою та хордою, що сполучає її кінці. ^{:стор.157}
   Також, круговий сегмент — спільна частина круга і півплощини. ^{:стор.425}
   Площу сегмента круга радіуса $R$ можна визначити за формулою: ^{:стор.158}

$S_{\text{сегм.}}={\frac {\pi \cdot R^{2}}{360}}\cdot \alpha \pm S_{\triangle AOB}$
(рос.)де $\alpha$ — градусна міра центрального кута.

1. 3 Півкруг — сегмент, якому відповідає розгорнутий кут.^{:стор.158}
   Також півкруг — частина круга, що обмежена дугою півкола та діаметром.

1. 4 Кільце — частина площини, що обмежена двома концентричними колами.

Площею круга називають площу фігури, що обмежена колом. Площа круга обчислюється за формулою:^{:стор.156}

$S=\pi R^{2}\$, де $\pi \approx 3{,}141592654$ — константа пі.

Периметром круга називають довжину кола, що його обмежує:

$L=2\pi R.$

Властивості

• Круг — центрально-симетрична фігура.
• При обертанні площини відносно центра круг переходить сам у себе.
• Круг є опуклою фігурою.

• (Ізопериметрична нерівність) Круг є фігурою, що має найбільшу площу при заданому периметрі. Або, що те ж саме, що має найменший периметр при заданій площі.
• Площу круга можна визначити, як границю послідовності площ правильних багатокутників, вписаних у відповідне коло, коли довжини сторін наближаються до нуля.^{:стор.157}

Круг в метричному просторі

Поняття кола дослівно узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. На відміну від випадку евклідових просторів, при довільних метриках круги метричного простору можуть бути дуже химерно влаштовані — зокрема, у разі дискретної метрики можна побудувати приклад, коли відкритий та замкнений круги певного радіуса збігаються.

Однак деякі властивості все ж зберігаються, а саме: опуклість та наявність центральної симетрії.

Наприклад, якщо розглянути вуличну метрику, яка на евклідовій площині задається співвідношенням:

$\rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$,

то одиничним колом з центром в початку координат $(0,0)$ буде квадрат з вершинами $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

В цій метриці, формула круга з центром в $(0,0)$ радіусу R буде наступна:

$\rho ((0,0);(x,y))=|x|+|y|<R.$

Див. також

• Коло
• Куля
• Число пі
• Квадратура круга
• Круговий трикутник

Література

• Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Харків : Гімназія, 1966. — С. 240. — ISBN 978-966-474-295-2.
• Істер О.С. Геометрія: 9 клас. — Київ : Генеза, 2017. — С. 243 : стор. 157—160. — ISBN 978-966-11-0844-7.

• Гайштут О. Г. , Ушаков Р. П. , Шамович О. А. Математика: довідник для абітурієнтів та учнів загальноосвітніх закладів. — Київ : Літера ЛТД, 2013. — 624 p. — ISBN 978-966-178-327-9.

Посилання

• Довжик М. В. «Коло, круг, сегмент, сектор. Формули та властивості кола». на сайті OnlineMSchool