C*-алгебра

C*-алгебри (вимовляється "Це-зірка") - важлива область досліджень у функціональному аналізі. Прототипом усіх C*-алгебр є комплексна алгебра A лінійних операторів на комплексному Гільбертовому просторі з двома додатковими властивостями:

• A є топологічно замкнутою множиною у топологічній нормі операторів.

• A є замкнутою щодо операції взяття спряженого оператора.

Вважається, що C*-алгебри почали розглядатися з огляду на їх важливість у квантовій механіці при моделюванні абстрактних фізичних спостережуваних. Дослідження почалися з робіт Вернера Гейзенберга з матричної механіки, та у 1933 році їх строго обґрунтував був Паскваль Йордан. Відповідно фон Нейман пробував математично узагальнити структуру цих алгебр.

Близько 1943 року, у працях Ізраеля Гельфанда та Марка Наймарка було дано означення C*-алгебр без огляду на оператори.

Абстрактне визначення

Спочатку дамо абстрактне означення C*-алгебр, дане у роботі 1943 року Гельфандом і Наймарком.

C*-алгебра, A, це банахів простір над полем комплексних чисел, разом із відображенням, * : A → A, яке зветься інволюцією. Образ елемента x з A при інволюції пишеться x*. Інволюція має наступні властивості:

• Для всіх x, y у A:

$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}\,$

$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}\,$

• Для кожного λ у C та кожного x у A:

$(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$

• Для всіх x у A

$(x^{*})^{*}=x\,$

• C*–тотожність стверджує, що для всіх x у A:

$\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.$

C* тотожність еквівалентна до того, що для всіх x із A:

$\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.$

Приклади

Скінченновимірні C*-алгебри

Алгебра M_n(C) n-на-n матриць над C стане C*-алгеброю, якщо ми розглянемо матриці як оператори на евклідовому просторі, Cⁿ, та використаємо операторну норму ||.|| для матриць. Інволюція тоді буде комплексним спряженням з транспозицією.

C*-алгебри операторів

Класичним прикладом C*-алгебри є алгебра B(H) обмежених (або що еквівалентно неперервних) лінійних операторів визначених на комплексному гільбертовому просторі H; тут x* позначає ермітово спряжений оператор до x: H → H. Насправді, кожна C*-алгебра, A, є *-ізоморфною до замкненої за нормою підалгебри B(H) для спеціально вибраного гільбертового простору, H; це твердження називається теоремою Гельфанда-Наймарка.

C*-алгебри і квантова теорія поля

У квантовій теорії поля, зазвичай фізичну систему описують C*-алгеброю A з одиничним елементом; самоспряжені елементи з A (елементи x із властивістю x* = x) називаються спостережуваними, і є вимірними величинами системи. Стан системи визначається як додатній функціонал на A (C-лінійне відображення φ : A → C з φ(u* u) ≥ 0 для всіх u∈A) такий що φ(1) = 1. Очікувальне значення спостережуваної x, якщо система перебуває у стані φ, є тоді φ(x).

Див. також

• *-алгебра
• Операторна алгебра