تقسیم احتمال

اصطلاح	term
تَراكُمی توزیع احتمال	cumulative distribution probability

کسی نمونہ فضا کے ذیلی مجموعات کو احتمال اس طرح سونپا جاتا ہے کہ احتمال کے مسلمات پورے ہوتے ہوں۔ تصادفی متغیر ایک دالہ ہوتا ہے، جو نمونہ فضا کو اصل اعداد میں لے جاتا ہے۔ تصادفی متغیر X کے کسی عدد x سے کم ہونے کے احتمال کو بطور ایک فنکشن لکھا جاتا ہے،

$F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)$

اور اس فنکشن $\ F_{X}(x)$ کو "تَراكُمی توزیعِ احتمال" کہا جاتا ہے۔ تَراكُمی توزیعِ احتمال مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

$F_{X}(x)\geq 0,\forall x$

$F_{X}(-\infty )=0$

$F_{X}(\infty )=1$

$F_{X}(x_{2})\geq F_{X}(x_{1})\,,\,\,\,x_{2}>x_{1}$

متفرد

متفرد تصافی متغیر X کی احتمال کمیت تفاعل $\ p_{X}(.)$ کسی بھی عدد x کے لیے یوں تعریف ہوتی ہے

$p_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr({\hbox{all }}s\in S:X(s)=x)$

یعنی $\ p_{X}(x)$ اس احتمال کے برابر ہے کہ تصادفی متغیر X کی قدر x بنے۔ یہاں S نمونہ فضا ہے، جو تصادفی متغیر X کا ساحہ ہے۔ غور کرو کہ

$p_{X}(x)\geq 0$

$p_{X}(x)\leq 1$

$\ \sum _{x}p_{X}(x)=1$

اب متفرد تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل یوں تعریف ہو گی

$F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\sum _{x:X(s)\leq x}p(x)$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x کے برابر یا اس سے کم ہو۔ غور کرو کہ

$F_{X}(x)\geq 0,\forall x$

$F_{X}(-\infty )=0$

$F_{X}(\infty )=1$

متفرد تصادفی متغیر X کے لیے اس کے "احتمال کمیت تفاعل" $\ p_{X}(x)$ اور "تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل" $\ F_{X}(x)$، دونوں کو "توزیعِ احتمال" پکارا جاتا ہے۔

فائل:Binomial distribution pmf.png

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت تفاعل $\ p_{X}(.)$

تصویر 3: دو رقمی توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل $\ F_{X}(.)$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال

تفصیلی مضمون: دو رقمی توزیع احتمال

بعض اوقات ایک ہی تجربہ کو متعدد بار دہرایا جاتا ہے (جیسے سکے کو بار بار فضا میں اچھالا جائے)۔ ایسے بار بار آزمائش میں فرض کرو کہ:

• دو ممکنہ نتائج ہیں، "کامیابی" اور "ناکامی"
• ہر آزمائش پر "کامیابی" کا احتمال p ہے اور "ناکامی" کا احتمال $\ 1-p$
• آزمائش کی تعداد n ہے
• ہر آزمائش دوسری آزمائشوں سے آزاد ہے

فرض کرو کہ تصادفی متغیر X ہے، جو ان n آزمائشوں میں "کامیابی" کی تعداد ظاہر کرتا ہے۔ اس متفرد تصادفی متغیر کا حیطہ

$\{0,1,2,\cdots ,n\}$

ہے اور توزیعِ احتمال

$p_{X}(x)={\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}$

اس توزیع احتمال کو "دو رقمی توزیع" کے نام سے پکارا جاتا ہے۔ ( یہاں ! کی علامت عامِلیہ کو ظاہر کرتی ہے۔)

متواصل

متواصل تصافی متغیر X کی احتمال کثافت دالہ $\ f_{X}(.)$ کی مدد سے تصادفی متغیر X کی قدر وقفہ $\ (a,b)$ میں ہونے کا احتمال یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\Pr(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)dx$

یعنی یہ احتمال دالہ $\ f_{X}(x)$ کے نیچے a سے b تک رقبہ کے برابر ہے۔ "احتمال کثافت تفاعل" مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

$f_{X}(x)\geq 0$

$\ \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)dx=1$

اب متواصل تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل یوں تعریف ہو گی

$F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(x)dx$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x سے کم ہو۔ غور کرو کہ

$F_{X}(x)\geq 0,\forall x$

$F_{X}(-\infty )=0$

$F_{X}(\infty )=1$

$F_{X}(x_{2})\geq F_{X}(x_{1})\,,\,\,\,\,x_{2}>x_{1}$

ان تعاریف سے پتہ چلتا ہے کہ

$\Pr(a<X\leq b)=\Pr(X\leq b)-\Pr(X\leq a)$

$\Pr(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)dx$

مثال

گاسین توزیع احتمال کی "احتمال کثافت تفاعل"۔ سبز رنگ میں معیاری گاسین توزیع احتمال ہے۔

گاسین توزیع احتمال کی "تراکمی توزیع تفاعل"۔ رنگ اوپر والی تصویر کے موافق ہیں۔

سب سے مشہور متواصل توزیع احتمال، گاسین توزیع احتمال ہے، جس کی "احتمال کثافت تفاعل" تصادفی متغیر X کے لیے یوں لکھی جاتی ہے

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!$

جبکہ اس کی متوقع قدر

$\ \mu =E(X)$

اور تفاوت

$\ \sigma ^{2}=Var(X)$

ہیں۔ معیاری گاسین "احتمال کثافت تفاعل" (سبز) کے لیے $\mu =0$ اور $\sigma ^{2}=1$

مزید دیکھیے

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات