قوتی سلسلہ

قوتی سلسلہ

ریاضی میں ایک لامتناہی سلسلہ ہوتا ہے جسے اس طرح سے ظاہر کرتے ہیں۔

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}$$+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

یہ عموما کسی دالہ (function) کے ٹیلر سلسلہ میں توسیع کی صورت میں پیدا ہوتا ہے۔

اگر یہاں c کی قدر صفر ہو تو یہ میکلارن سلسلہ کہلاتا ہے اور اسے اس طرح سے لکھا جا سکتا ہے۔

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$

قوتی سلسلے ریاضیاتی تحلیل، تالیفیات (combinatorics) (جہاں یہ تولیدی دالہ (generating function) کے نام سے جانے جاتے ہیں) اور ہندسیات (engineering) میں بہت زیادہ استعمال ہوتے ہیں۔

مثالیں

کثیر رقمی (polynomial) کو بہت آسانی سے قوتی سلسلے کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر $f(x)=x^{2}+2x+3$ کو قوتی سلسلے کی شکل میں اس طرح ظاہر کر سکتے ہیں جب c کی قدر صفر ہو۔

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

c کی قدر 1 پر اسے اس طرح لکھیں گے۔

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}$$+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

کچھ مشہور قوتی سلسلے مندرجہ ذیل ہیں۔

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

منفی قوت والے سلسلے کو قوتی سلسلہ نہیں کہتے، مثال کے طور پر $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ قوتی سلسلہ نہیں ہے۔

بیرونی روابط

• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.