لاگرتھم

اصطلاح	term
اساس شارح اسی تفاعل قوت ناطق عدد حسابان پی ایچ قدر مربع جذر وقفہ	Base Exponent Exponential function Power Rational number Calculus pH Value Square root Interval

لاگرتھم کو سترہویں صدی میں جان نیپیر اور اس کے پیشرو جوست بیرغی نے متعارف کرایا تھا، بعد ازاں یہ بہت جلد مشہور ہوکر استعمال ہونے لگا۔ کیونکہ اس میں لمبے اور مشکل ضرب کے عمل کو آسان جمع کے عمل سے کیا جا سکتا تھا۔ آج لاگرتھم کا تصور مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر کا دیا ہوا ہے جس نے اسے اسی دالہ (Exponential function) کے ساتھ منسلک کیا۔

لاگرتھم پیمانے کو بڑی قدروں کو چھوٹی قدروں میں تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ خالص ریاضی اور احصا (Calculus) میں قدرتی لاگرتھم بہت زیادہ استعمال ہوتا ہے اور شمارندیات (Computer Science) میں ثنائی لاگرتھم بہت زیادہ استعمال ہوتا ہے۔ کیمیا میں کسی چیز کی تیزابیت جانچنے کے لیے پی ایچ قدر (pH Value) نکالی جاتی ہے جو اساس 10 کا لاگرتھم ہے۔

Logarithm بنیادی طور پر یونانی کے دو لفظ logos (نسبت) اور arthimus (عدد) سے مل کر بنا ہے۔ بعض افراد کو الگوردم اور لاگرتھم کے الفاظ میں اشتباہ پیدا ہو گیا اور انھوں نے دونوں کو الخوارزمی سے منسلک کر دیا، جب کہ یہ دونوں علاحدہ ہیں۔

ثنائی لاگرتھم

تعارف

کسی عدد کا لاگرتھم، کسی مخصوص اساس (Base) پر اس کی شارح (Exponent) ہے جو اس عدد کے برابر ہو جائے۔ جیسے مثال کے طور پر اگر ہم 10 کو تین دفعہ ضرب دیں تو حاصل ضرب 1000 ہو گا۔

$10\times 10\times 10=1000$

اسے ہم اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں۔

$10^{3}=1000$

یہاں 3، 1000 کا لوگرتھم ہے جس کی اساس 10 ہے۔ عمومی طور پر اس کو ہم اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں۔

$x=b^{y}$

یہاں x کا لاگرتھم اساس b پر y ہے۔ اسے ہم ایسے بھی لکھ سکتے ہیں

$y=log_{b}(x)$

اگر اوپر دی ہوئی مثال کو ہم لاگرتھم کی صورت میں لکھنا چاہیں تو یہ کچھ اس طرح ہو گا۔

$log_{10}(1000)=3$

محرک

لاگرتھم شارع (Exponent) کا منعکس عمل ہے۔ شارع میں ہم کسی عدد کو بار بار ضرب دے کر ایک نیا عدد حاصل کرتے ہیں اور جتنی دفعہ ہم اسے ضرب دیتے ہیں وہ اس کی قوت (Power) کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر

$2^{3}=2\times 2\times 2=8$

یہاں 2 کی قوت 3 ہو تو جواب 8 آتا ہے۔ لاگرتھم میں ہم اس کا الٹ دیکھتے ہیں، جیسا کہ اگر پوچھا جائے کہ 2 کی کس قوت پر جواب 8 آئے گا، وہ اس کا لاگرتھم ہو گا۔

$log_{2}(8)=3$

اسے اگر ہم عموی طور پر لکھنا چاہیں تو ایسے لکھیں گے۔

$x=b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}$

اسے لاگرتھم کی صورت میں اس طرح لکھیں گے۔

$log_{b}(x)=n$

منفی لاگرتھم

یہاں یہ بات قابل ذکر ہے کہ قوت منفی بھی ہو سکتی ہے۔ جیسا کہ ان مثالوں سے ظاہر ہے

$b^{-1}={\frac {1}{b}}$

$b^{-2}={\frac {1}{b^{2}}}$

$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$

اس کا مطلب ہے کہ لاگرتھم منفی بھی ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر

$log_{2}(0.25)={\frac {1}{2^{2}}}=2^{-2}=-2$

$log_{10}(0.001)={\frac {1}{10^{3}}}=10^{-3}=-3$

$log_{b}(x)={\frac {1}{b^{n}}}=b^{-n}=-n$

حقیقی عدد لاگرتھم

لاگرتھم ایک حقیقی عدد بھی ہو سکتا ہے۔ جیسا کہ ہم نے دیکھا کہ

$log_{10}(1)=0$

$log_{10}(10)=1$

$log_{10}(100)=2$

اس کا مطلب ہے کی اگر اساس 10 ہو تو 1 سے بڑے اور 10 سے چھوٹے اعداد کا لاگرتھم 0 اور 1 کے درمیان ہو گا۔ اسی طرح اگر کوئی عدد 10 سے بڑا اور 100 سے چھوٹا ہو تو اساس 10 میں اس کا لاگرتھم 1 سے بڑا اور 2 سے چھوٹا ہو گا۔ اب سوال یہ ہے کہ یہ لاگرتھم کیسے نکالیں جائیں۔

$log_{10}(2)=10^{?}=?$

دوسرے الفاظ میں 10 کی کیا قوت ہو کہ اس کا جواب 2 آجائے۔ اسے دیکھنے کے لیے ہمیں پہلے لاگرتھم کی اکائیاں اور اصول سمجھنے ہوں گے۔

لاگرتھم کے اکائیاں اور اصول

بنیادی اصول

کسی بھی عدد کی اگر قوت صفر ہو گی تو وہ 1 کے برابر ہو گا۔ جیسے کہ

$2^{0}=1$

$100^{0}=1$

$25.128^{0}=1$

لاگرتھم کی زبان میں اس کا مطلب ہے کہ کسی بھی اساس میں اگر ہم 1 کا لاگرتھم نکالیں گے تو وہ صفر ہو گا۔ یہ لاگرتھم کی پہلی اکائی (قاعدہ) ہے۔

$log_{b}(1)=0$

اسی طرح کسی بھی عدد کی اگر قوت 1 لی جائے تو وہی عدد ہمیں واپس ملے گا۔ مثال کے طور پر

$2^{1}=2$

$100^{1}=100$

$25.128^{1}=25.128$

لاگرتھم کی زبان میں اس کا مطلب ہے کہ کسی بھی اساس پر اسی عدد کا لاگرتھم ہمیشہ 1 ہو گا۔

$log_{16}(16)=1$

$log_{37.62}(37.62)=1$

یہ لاگرتھم کی دوسری اکائی (قاعدہ) ہے

$log_{b}(b)=1$

بنیادی عمل

اگر کسی دو اعداد کو جن کی اساس ایک جیسی ہو مگر قوت مختلف ہو تو حاصل ضرب میں ہم صرف دنوں اعداد کے قوتوں کو جمع کر لیں گے۔

$100\times 1000=100000$

$10^{2}\times 10^{3}=10^{2+3}=10^{5}$

$16\times 64=1024$

$2^{4}\times 2^{6}=2^{4+6}=2^{10}$

عمومی طور پر ہم اسے اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں۔

$a^{m}\times b^{n}=b^{m+n}$

اسے ہم لاگرتھم کی صورت میں اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

$log_{b}(mn)=log_{b}(m)+log_{b}(n)$

اسی طرح اگر ہم کسی عدد کو کسی دوسرے عدد سے تقسیم کریں جن کی اساس ایک ہو مگر قوت مختلف ہو تو اس صورت میں ان کی قوتوں کو منفی کریں گے۔

${\frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}$

لاگرتھم میں ہم اسے ایسے لکھ سکتے ہیں

$log_{b}({\frac {m}{n}})=log_{b}(m)-log_{b}(n)$

الجبرا میں ہم اگر کسی عدد کی قوت کی قوت لیتے ہیں تو دراصل ہم ان دونوں قوتوں کو ضرب دیتے ہیں۔ مثال کے طور پر

${(3^{2})}^{5}=3^{2\times 5}=3^{10}=59049$

${(b^{m})}^{n}=b^{m\times n}$

اسے ہم لاگرتھم کی صورت میں اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

$log_{b}(m^{n})=n\times log_{b}(m)$

اگر کسی عدد کی قوت ناطق عدد (Rational number) تب بھی ہم یہی قاعدہ استعمال کریں گے۔

$log_{b}({\sqrt[{n}]{m}})=log_{b}(m^{\frac {1}{n}})={\frac {1}{n}}\times log_{b}(m)$

اس جدول میں سارے بنیادی قائدے دیکھائے گئے ہیں۔

	قاعدہ	مثال
ضرب	$\log _{b}(m\times n)=\log _{b}(m)+\log _{b}(n)\,$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\times 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5\,$
تقسیم	$\log _{b}\!\left({\frac {m}{n}}\right)=\log _{b}(m)-\log _{b}(n)\,$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
قوت	$\log _{b}(m^{n})=n\times \log _{b}(m)\,$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\times \log _{2}(2)=6\,$
جذر	$\log _{b}{\sqrt[{n}]{m}}={\frac {\log _{b}(m)}{n}}\,$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\times \log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

لاگرتھم نکالنے کا طریقہ

ان اعداد کا جو اساس کا حاصل ضرب ہوں لاگرتھم نکالنا کافی آسان ہوتا ہے، جیسے 100، 1000، 10000 کا اساس 10 پر لاگرتھم اور 16، 32، 64، 128 کا اساس 2 پر لاگرتھم زبانی نکال سکتے ہیں۔ مگر ان اعداد کے درمیانی عدد کا اگر لاگرتھپ نکالنا ہو تو ہم کیا طریقہ اختیار کریں گے۔ مثال کے طور پر 2 کا اساس 10 میں لاگرتھم کیسے نکالیں گے۔ سب سے پہلے تو یہ طے کریں کہ اس سوال کا اور اس کے جواب کا کیا مطلب ہے۔ 2 کا اساس 10 پر لاگرتھم نکالنے کا مطلب ہے کہ 10 کی کیا طاقت ہو کہ جواب 2 آ جائے۔

$2=10^{?}$

یہاں اس کا جواب 0 اور 1 درمیان ہو گا۔ اگر ہم لاگرتھم جدول یا کمپیوٹر سے اس کا جواب نکالیں تو اس کا جواب تقریبا 0٫301029995 آئے گا۔ یعنی کہ ہم اس کو ایسے لکھ سکتے ہیں۔

$10^{0.301029995}\approx 2$

یہ ہم لاگرتھم کے جذر کے قائدے سے نکال سکتے ہیں۔ ہم یہ جانتے ہیں کہ عدد 2 1 اور 10 کے درمیان ہے، اس لیے اس لا لاگرتھم بھی 1 اور 10 کے لاگرتھم کے درمیان ہو گا۔ پہلے مرحلے میں ہم 1 اور 10 کا درمیانی نقطہ نکالتے ہیں۔ یہاں یہ بات بہت اہم ہے کہ چونکہ لاگرتھم درحقیقت قوت کو استعمال کرتا ہے، اس لیے ہمیں درمیانی نقطہ بھی قوت کا نکالنا ہے نہ کہ 1 اور 10 کو جمع کر کے ان کا درمیانی نقطہ نکال لیں۔ اس کا مطلب ہے کہ ہمیں 1 اور 10 کی قوتوں کو جمع کر کے 2 سے تقسیم کرنا ہے۔ یاں دوسرے الفاظ میں ہم 1 اور 10 کے حاصل ضرب کا مربع جذر (Square root) نکال لیں گے۔

${(1\times 10)}^{\frac {(0+1)}{2}}={\sqrt {1\times 10}}=3.16227766$

یہی کام ہم ان کے لاگرتھم کے ساتھ کریں گے۔ مگر لاگرتھم میں قدریں پہلے ہی قوت کی شکل میں لکھی ہوئی ہیں اس لیے ہم وہاں مربع جذر کی بجائے ان کو جمع کر کے 2 سے تقسیم کر دیں گے۔

${\frac {(0+1)}{2}}={\frac {1}{2}}=0.5$

یہ ہمارے پاس اوپر حاصل کیے گئے عدد کا لاگرتھم ہے۔

$10^{3.16227766}\approx 0.5$

$log_{10}(3.16227799)\approx 0.5$

اب ہمارا وقفہ مختصر ہو کر 1 اور 3٫16227799 ہو گیا ہے کیونکہ ہمیں ان دونوں اعداد کا لاگرتھم معلوم ہے۔ اب ہم اپنے عمل کو اس وقفے پر دہرایں گے۔

${\sqrt {1\times 3.16227766}}=1.77827941$

اسی طرح ہم اس عدد کا لاگرتھم نکالیں گے۔

${\frac {(0+0.5)}{2}}=0.25$

یہ ہمارے پاس اوپر حاصل کیے گئے عدد کا لاگرتھم ہے۔

$10^{1.77827941}\approx 0.25$

$log_{10}(1.77827941)\approx 0.25$

چونکہ 1٫77827941 2 سے چھوٹا ہے اس لیے اب یہ ہمارے وقفے کا آغاز بن جائے گا۔ ہمارا نیا وقفہ 1٫77827941 سے 3٫16227766 ہے۔ اس کا مطلب ہے کا 2 لا لاگرتھم ان دو اعداد کے درمیان ہے۔ اب اس وقفے پر اس عمل کو دہراتے ہیں۔

${\sqrt {1.77827941\times 3.16227766}}=2.37137371$

${\frac {(0.25+0.5)}{2}}=0.375$

$10^{2.37137371}\approx 0.375$

$log_{10}(2.37137371)\approx 0.375$

اب ہمارا وقفہ 1.77827941 اور 2.37137371 کے درمیان ہے۔ ہم اسی عمل کو بار بار دہراتے رہیں گے جب تک ہم 2 کے نہایت قریب نہیں پہنچ جاتے۔ اس عمل کو اس جدول میں دکھایا گیا ہے۔

نمبر شمار	وقفے کا آغاز	وقفے کا اختتام	وقفے کا درمیان	آغاز کا لاگرتھم	اختتام کا لاگرتھم	درمیان کا لاگرتھم
1	1	10	3.16227766	0	1	0.5
2	1	3.16227766	1.77827941	0	0.5	0.25
3	1.77827941	3.16227766	2.37137371	0.25	0.5	0.375
4	1.77827941	2.37137371	2.053525026	0.25	0.375	0.3125
5	1.77827941	2.053525026	1.910952975	0.25	0.3125	0.28125
6	1.910952975	2.053525026	1.980956779	0.28125	0.3125	0.296875
7	1.980956779	2.053525026	2.016914555	0.296875	0.3125	0.3046875
8	1.980956779	2.016914555	1.998854812	0.296875	0.3046875	0.30078125
9	1.998854812	2.016914555	2.007864379	0.30078125	0.3046875	0.302734375
10	1.998854812	2.007864379	2.00335453	0.30078125	0.302734375	0.301757813
11	1.998854812	2.00335453	2.001103406	0.30078125	0.3017578135	0.301269531
12	1.998854812	2.001103406	1.999978793	0.30078125	0.301269531	0.301025391

12 دفعہ یہ عمل دہرانے کے بعد ہمیں اساس 10 پر لاگرتھم کی تقریبا قدر معلوم ہو گئی ہے۔ اگر ہمیں مزید درست قدر درکار ہے تو ہم اس عمل کو اس وقت تک دہراتے رہیں گے جب تک کہ ہمیں مطلوبہ درستی نہ حاصل ہو جائے۔

$log_{10}(2)=0.30102$