Spin-orbital taʼsir

Spin haqida ma'lumot

Elektronning xususiy mexanik impuls momenti L_s spin momenti (yoki spin) deyiladi. Spin vektor kattalik bo‘lib, dekart koordinatalar sistemasida koordinata o‘qlariga S_x, S_y, S_z proyeksiyalariga ega. Elektronning yadroga nisbatan impuls momentini Yerning Quyosh atrofida aylanishidagi impuls momentiga, xususiy mexanik momentini (spinni) esa, Yerning o‘z o‘qi atrofida aylanishidagi impuls momentiga taqqoslash mumkin. 1928-yilda Dirak elektronning relyativistik kvant nazariyasini yaratdi, bu nazariyadan spin xususiyatlari kelib chiqadi. Elektronning o‘z xususiy o‘qi atrofida aylanishini hisobga olishda yana bir kvant sonni kiritish kerak bo'ladi. Dirakning relyativistik kvant nazariyasiga asosan bu kvant son — spin kvant soni: s'dir. Spin kvant sonining mavjudligi atomning nozik strukturasini o'rganishda tajribada aniqlangan.

Elektronning atomdagi harakatini ifodalash uchun 4 ta kvant sonlaridan foydalaniladi. Bular: $n$, $l$, $m$ va $m_{s}$. Biroq bu kvant sonlari orqali elektronning atomdagi holatini aniqlash uchun ushbu kvant sonlar bilan bogʻlangan fizik kattaliklar vaqt boʻyicha oʻzgarmay qolishi kerak.

Elektronning orbital harakati tufayli esa $\mathrm {H}$ magnit momenti hosil boʻladi. Bu magnit momenti elektronning xususiy magnit momenti bilan oʻzaro taʼsirlashadi. Ushbu taʼsirlashuvni spin-orbital oʻzaro taʼsir deb yuritiladi.

O'zaro ta'sirning kelib chiqishi

Spin-orbital oʻzaro taʼsir energiyasini aniqlash uchun $({\textbf {M}};{\textbf {H}})$ skalyar koʻpaytmani hisoblash lozim. Bu yerda ${\textbf {M}}$ — elektronning xususiy magnit momenti. ${\textbf {H}}$ esa uning orbital harakati natijasida hosil boʻlgan magnit maydon kuchlanganligi. Maydon kuchlanganligini hisoblash uchun yadro bilan bogʻlangan „qoʻzgʻalmas“ sanoq sistemasidan, elektron bilan bogʻlangan harakatdagi sanoq sistemasiga oʻtamiz. Bu sanoq sistemasida elektronning ogʻirlik markazi tinch turadi, yadro esa ${\textbf {v}}$ tezlik bilan harakatlanadi. Bu tezlik son jihatdan elektron tezligiga teng, yoʻnalishi esa qarama-qarshi yoʻnalgan. Yadroning bu harakati natijasida qiymati $Ze{\textbf {v}}$ ga teng boʻlgan tok hosil boʻladi. Bu tokning elektron turgan nuqtadagi magnit maydoni Biot-Savar qonuniga binoan quyidagiga teng:

$H=-{\frac {Ze\left[{\textbf {v;r}}\right]}{cr^{3}}}={\frac {Ze\left[{\textbf {r;v}}\right]}{cr^{3}}}\ \ \ \ \ \ \ (1)$

Formuladagi $\left[{\textbf {r;v}}\right]$ vektor koʻpaytmani harakat miqdori momenti orqali yozib olish mumkin:

${\textbf {l}}=\mu \left[{\textbf {r;v}}\right]\ \ \ \ \ \ (2)$

U holda

${\textbf {H}}={\frac {Ze}{\mu cr^{3}}}{\textbf {l}}\ \ \ \ \ \ (3)$

${\textbf {M}}$ magnit dipolning ${\textbf {H}}$ maydondagi energiyasi

$-\left({\textbf {M;H}}\right)=-{\frac {Ze}{\mu cr^{3}}}\left({\textbf {M;l}}\right)\ \ \ \ \ \ \ (4)$

Bu energiya, elektron larmor pressessiyasining kinetik energiyasiga teng. Biroq shuni eʼtiborga olish lozimki, (4)-formula elektronning inersiya markazi tinch turgan sanoq sistemasidagi larmor pressessiyasiga mos keladi. Yadro tinch turgan, aniqrogʻi atomning inersiya markazi tinch turgan sanoq sistemasiga oʻtish uchun Lorentz almashtirishini amalga oshirish lozim. Magnit oʻzaro taʼsir natijasida hosil boʻladigan qoʻshimcha energiya, Frenkel va Tomas (bir-biridan mustaqil ravishda) aniqlagan formulaga binoan, (4) dagi qiymatning yarmiga teng:

$H_{ls}=-{\frac {Ze}{2\mu cr^{3}}}\left({\textbf {M;l}}\right)\ \ \ \ \ \ \ (5)$

Ushbu qoʻshimcha energiyani Gamilton funksiyasining asosiy qismi $H_{0}$ bilan solishtirganda, juda kichik gʻalayonlanish deb qarash mumkin. Gʻalayonlanish nazariyasiga binoan, hosil boʻlgan qoʻshimcha energiya, gʻalayonlanmagan holat uchun hisoblangan Gamilton funksiyasining oʻrtacha qiymatiga teng:

$\Delta E_{ls}={\overline {H}}_{ls}$

Koʻrinib turibdiki, (5) ga kiruvchi hadlarning barchasi, ${\textbf {r}}$ dan tashqari, doimiy sonlar. Shu sababli, faqatgina ${\frac {1}{r^{3}}}$ ni oʻrtachalash yetarli boʻladi:

$\Delta E_{ls}=-{\frac {Ze}{2\mu c}}{\overline {\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}}\left({\textbf {M;l}}\right)\ \ \ \ \ \ \ (6)$

Oʻrtachalash gʻalayonlanmagan holat boʻyicha amalga oshiriladi. Buning uchun Kepler masalasida topilgan xususiy funksiyalardan foydalanamiz. Hisoblashlardan soʻng quyidagi hosil boʻladi:

${\overline {\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}}={\frac {Z^{3}}{a_{1}^{3}n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

bu yerda $a_{1}$ — birinchi Bor radiusi:

$a_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{\mu e^{2}}}$

Endi esa (6) formuladagi $\left({\textbf {M;l}}\right)$ skalyar koʻpaytmani hisoblaymiz. ${\textbf {M}}$ magnit momentning mexanik moment ${\textbf {S}}$ ga mos kelgan spin momentiga nisbati:

$2{\frac {e}{2\mu c}}={\frac {e}{\mu c}}$

Elektron zaryadi manfiy boʻlgani uchun ${\textbf {M}}$ yoʻnalishi ${\textbf {S}}$ ga qarama-qarshi. Shu sababli,

${\textbf {M}}=-{\frac {e}{\mu c}}{\textbf {S}}\ \ \ \ \ \ \ \ (8)$

Spin va orbital momentlarning son qiymatlari quyidagiga teng:

$|{\textbf {S}}|={\sqrt {s(s+1)}}\hbar \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$

$|{\textbf {l}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$

Yozuvni qisqartirish va vaqtni tejash maqsadida ${\sqrt {s(s+1)}}$ va ${\sqrt {l(l+1)}}$ larni mos ravishda $s^{*}$ va $l^{*}$ deb belgilaymiz. U holda

$|{\textbf {S}}|=s^{*}\hbar ,\ \ \ \ \ |{\textbf {l}}|=l^{*}\hbar \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11)$

(7) dan ${\overline {\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}}$ ni (6) ga olib borib qoʻyamiz:

$\Delta E_{ls}=-{\frac {Z^{4}e^{2}}{2\mu c}}{\frac {\left({\textbf {M;l}}\right)}{a_{1}^{3}n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}$

(8) orqali ifodalangan, elektronning mexanik va magnit momentlari orasidagi bogʻliqlikni hisobga olgan holda,

$\Delta E_{ls}={\frac {Z^{4}e^{2}}{2\mu ^{2}c^{2}}}{\frac {\left({\textbf {S;l}}\right)}{a_{1}^{3}n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}$

(11) formuladan foydalanib, yuqoridagi ifodani mana bu koʻrinishga keltiramiz:

$\Delta E_{ls}={\frac {Z^{4}e^{2}}{2\mu ^{2}c^{2}}}{\frac {\hbar ^{2}s^{*}l^{*}}{a_{1}^{3}n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}\cos({\textbf {S;l}})$

Shundan soʻng, 1-Bor radiusi $a_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{\mu e^{2}}}$, Ridberg doimiysi $R={\frac {\mu e^{4}}{4\pi \hbar ^{3}c}}$ va oʻta nozik struktura doimiysi $\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}$ ni kiritib, ifodani soddalashtiramiz:

$\Delta E_{ls}={\frac {2\pi R\alpha ^{2}\hbar cZ^{4}}{n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}l^{*}s^{*}\cos({\textbf {S;l}})$

Spektroskopiyada spektral chiziqlar chastotasi, odatda $\nu (sm^{-1})$ orqali ifodalanadi. Shu sababli, $\hbar$ ni $h=2\pi \hbar$ ga almashtirish maqsadga muvofiqdir. U holda

$\Delta E_{ls}={\frac {R\alpha ^{2}eZ^{4}}{n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}l^{*}s^{*}\cos({\textbf {S;l}})\ \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$

Endi orbital va spin momentlar vektorlari orasidagi burchak kosinusini hisoblash qoldi.

Toʻliq harakat miqdori momentiga nisbatan l va s vektorlar pressessiyasi

Kosinuslar teoremasidan hamda $j^{*}={\sqrt {j(j+1)}}$ ekanligidan foydalangan holda

$j^{*2}=l^{*2}+s^{*2}-2l^{*}s^{*}\cos \left[\pi -({\textbf {l;S}})\right]=l^{*2}+s^{*2}+2l^{*}s^{*}\cos({\textbf {l;S}})$

bu yerdan

$l^{*}s^{*}\cos({\textbf {l;S}})={\frac {j^{*2}-l^{*2}-s^{*2}}{2}}={\frac {j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ (13)$

Hosil boʻlgan natijani (12) formulaga qoʻyamiz:

$\Delta E_{ls}={\frac {R\alpha ^{2}heZ^{4}}{n^{3}l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}{\frac {j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)}{2}}$

Yuqoridagi ifodadan foydalanib, spin-orbital oʻzaro taʼsir tufayli term energiyasiga kiritilgan tuzatmani quyidagicha yozish mumkin:

$\Delta T_{ls}=-{\frac {\Delta E_{ls}}{hc}}=-{\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}{\frac {j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)}{2}}\ \ \ \ \ (14)$

Maʼlumki, $j$ faqatgina $l+{\frac {1}{2}}$ va $l-{\frac {1}{2}}$ qiymatlarni qabul qila oladi. Shuni hisobga olgan holda, (14) formuladagi 2-koʻpaytuvchining qiymati quyidagicha boʻlishi mumkin:

• : $j=l+{\frac {1}{2}}$ boʻlganda:

${\frac {j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)}{2}}={\frac {\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\left(l+{\frac {3}{2}}\right)-l^{2}-l-{\frac {3}{4}}}{2}}={\frac {l}{2}}$

• : $j=l-{\frac {1}{2}}$ boʻlganda:

${\frac {j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)}{2}}=-{\frac {l+1}{2}}$

Bu ikkala qiymatga mos keluvchi $\Delta T_{ls}$ ning qiymatlari:

$\Delta T_{ls}=-{\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}2\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}},\ \ j=l+{\frac {1}{2}}$

$\Delta T_{ls}={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}2\left(l+{\frac {1}{2}}\right)}},\ \ j=l-{\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ (15)$

Vodorodsimon atomlar uchun elektronning atomdagi holatini tavsiflash uchun spektral term energiyasi ifodasiga relyativistik tuzatma ham kiritiladi:

$\Delta T_{r}={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{l+{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4n}}}}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ (15*)$

Umumiy tuzatmani topish uchun $\Delta T_{ls}$ va $\Delta T_{r}$ tuzatmalarni bir-biriga qoʻshish kerak boʻladi. $j=l\pm {\frac {1}{2}}$ ekanligini hisobga olgan holda (15) va (15*) formulalarni qoʻshamiz:

• : $j=l+{\frac {1}{2}}$ boʻlgan hol:

$\Delta T=\Delta T_{r}+\Delta T_{ls}={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{l+{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4n}}}}\right)-{\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{2n^{3}\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{l+1}}-{\frac {3}{4n}}\right)=$ $={\frac {R\alpha ^{3}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)$

• $j=l-{\frac {1}{2}}$ boʻlgan hol:

$\Delta T=\Delta T_{r}+\Delta T_{ls}={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{l}}-{\frac {3}{4n}}\right)={\frac {R\alpha ^{3}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)$

Koʻrinib turibdiki, ikkala holda ham $\Delta T=\Delta T_{r}+\Delta T_{ls}$ yigʻindining qiymati bir xil boʻladi. Demak, formulani umumiy holda:

$\Delta T={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\ \ \ \ \ \ (16)$

koʻrinishida yozish mumkin.

(16) dan koʻrinib turibdiki, $j={\frac {1}{2}}$ boʻlganda tuzatma qiymati:

$\Delta T={\frac {R\alpha ^{2}Z^{4}}{n^{3}}}\left(1-{\frac {3}{4n}}\right)$

ga teng boʻladi. Bundan kelib chiqadiki, s-termlar ostsathga ajralmas ekan. Qolgan termlar ($p$, $d$, $f$, …) uchun $j=l\pm 1/2$ boʻlgani uchun har bir sath 2 tadan ostsathga ajraladi. U holda $n=2$uchun bittadan s va p sathlarga ega boʻladi. Term esa uchta ostsathga (bitta s va ikkita p) ajraladi. $n=3$ boʻlganda 5 ta ostsathga ajraladi va hokazo. Biroq ushbu ostsathlar ichida har doim ustma-ust tushuvchi juftliklar boʻladi. Haqiqatdan ham, bosh kvant sonining ayni bir qiymatida hamda oʻta nozik struktura hisobga olinmaganda termlar qiymati $l$ ga emas, faqatgina $n$ ga bogʻliq boʻladi. Oʻta nozik struktura tufayli kiritilgan tuzatma ham faqat $j$ ga bogʻliq. Biroq $j=l\pm 1/2$. boʻlgani uchun, masalan, $n=2$ da s-term ($l=0$) uchun $j=1/2$ boʻladi. Shu bilan birga n=2 da p-term uchun ham $j=1/2$ ga teng boʻladi, yaʼni ular ustma-ust tushadi. Xuddi shu kabi, $n=3$ da 3p termning ostsathi ($j=3/2$), 3d-term ostsathi ($j=3/2$) bilan mos keladi. Shuning uchun ham Balmer seriyasida 3 ta emas, balki 2 ta ostsath kuzatiladi. $n=3$ boʻlganda esa 5 ta ostsath oʻrniga 3 ta koʻrinadi va hokazo.

Bundan tashqari, (16) formuladan koʻrinib turibdiki, $n$ning qiymati ortishi bilan $\Delta T$ ning qiymati juda tez kamayadi. Shu sababli Balmer seriyasi chiziqlarining nozik strukturasi amalda $n=2$ uchun aniqlanadi.

Yana qarang

• Atom nurlanish spektri
• Spektral termlar
• Elektronning atomdagi to'la impuls momenti
• Zeeman effekti

Manba

• E. U. Condon, G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge University Press, 1935
• Landau L. D., Lifshits Ye. M. Teoriya polya. — Izdanie 7-e, ispravlennoe. — M.: Nauka, 1988. — 512 s