Phép đồng phôi

Cho hai không gian tô pô X và Y. Một ánh xạ $f:X\to Y$ được gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y nếu f là một song ánh đồng thời cả f lẫn ánh xạ ngược $f^{-1}:Y\to X$ là những hàm liên tục. Nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y thì hai không gian này được gọi là hai không gian đồng phôi với nhau.

Phép biến đổi topo giữa cái ca và cái vòng

Nếu ta xem một không gian tô pô là một vật thể hình học, thì có thể xem một phép đồng phôi là một phép kéo dài và vặn xoắn liên tục một vật thể để cho ra một hình dạng mới. Cho nên một hình vuông và một hình tròn là đồng phôi với nhau. Cũng như việc biến một cốc cà phê thành một cái vòng như hình bên cạnh. Nhưng một quả cầu và một cái bánh donut thì không đồng phôi với nhau.

Phép đồng phôi là cấu xạ của phạm trù ${\textbf {Top}}$ các không gian tô pô.

Định nghĩa

Một ánh xạ $f:\;X\rightarrow Y$ giữa hai không gian tô pô $(X,\tau _{X}),\;(Y,\tau _{Y})$ được gọi là một phép đồng phôi nếu thỏa mãn các tính chất bên dưới:

• f là một song ánh
• f là ánh xạ liên tục
• ánh xạ ngược $f^{-1}$ là liên tục(f là ánh xạ mở).

Nếu tồn tại một ánh xạ f thỏa mãn các tính chất trên thì $X,Y$ được gọi là đồng phôi với nhau.

Một phép tự đồng phôi là một phép đồng phôi từ một không gian tô pô vào chính nó.

Phép đồng phôi hình thành nên một quan hệ tương đương trên lớp các không gian tô pô, lớp tương đương này còn được gọi là những lớp đồng phôi.

Ví dụ

• Ánh xạ đồng nhất id: $X\rightarrow X$ là một phép đồng phôi.

Dưới topo Euclid, với $a,b,c,d$ là các số thực bất kỳ sao cho $a<b,a'<b'$, ta có :

• Các Khoảng mở $(a,b),(a',b'),(a,\infty ),(-\infty ,a)$ và $\mathbb {R}$ đồng phôi với nhau.
• Hai khoảng đóng, bị chặn bất kỳ của đường thẳng thực $\mathbb {R}$ thì đồng phôi với nhau.
• Các nửa khoảng $(a,b],[a',b'),[a,\infty ),(-\infty ,a]$ đồng phôi với nhau.

• Mặt cầu trong không gian n chiều bỏ đi một điểm thì đồng phôi với cả không gian $R^{n}$ Phép đồng phôi có thể được chọn như phép chiếu lập thể từ điểm bỏ đi đó.

Lưu ý:

• Với $m\neq n,\mathbb {R} ^{m}$ và $\mathbb {R} ^{n}$ không đồng phôi với nhau (đây là hệ quả của Định lý bất biến miền).
• Đường thẳng thực Euclid không đồng phôi với đường tròn đơn vị bởi vì đường tròn đơn vị compắc nhưng đường thẳng thực thì không compắc.

Nút ba lá đồng phôi với hình tròn

Phân loại bảng chữ cái dựa vào phép đồng phôi

Chú ý

• Tính chất thứ 3, $f^{-1}$ liên tục là điều kiện thiết yếu. Xét ví dụ, cho hàm $f:[0,2\pi )\rightarrow S^{1}$, với $f(\varphi )=(cos(\varphi ),sin(\varphi ))$, thì $f$ là một song ánh và liên tục nhưng không là đồng phôi ($S^{1}$ compắc nhưng $[0,2\pi )$ không compắc).
• Phép đồng phôi là một phép đẳng cấu trong phạm trù không gian topo. Như vậy, hợp của hai phép đồng phôi là một phép đồng phôi, và tập tất cả các tự đồng phôi từ $X\rightarrow X$ tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm đồng phôi của $X$, ký hiệu là $\mathrm {Homeo} (X)$.
• Lưu ý: Nếu $f$ là phép đồng phôi giữa $X$ và $Y$ thì $f$ vừa là ánh xạ đóng vừa là ánh xạ mở, nghĩa là $f$ biến tập mở trong $X$ thành tập mở trong $Y$, biến tập đóng trong $X$ thành tập đóng trong $Y$.
• Hơn nữa, nếu $f$ là một ánh xạ liên tục, ta có ba điều kiện tương đương sau:
  • $f$ là một phép đồng phôi
  • $f$ là một song ánh đóng
  • $f$ là một song ánh mở

Tính chất

Hai không giao topo đồng phôi với nhau thì có cùng tính chất topo với nhau. Cho ánh xạ $f:X\to Y$. Với $f$ là phép đồng phôi giữa $X$ và $Y$. Nếu

• $X$ là không gian topo compact thì $Y$ cũng là không gian topo compact và ngược lại.
• $X$ là không gian topo liên thông thì $Y$ cũng là không gian topo liên thông và ngược lại.
• $X$ là không gian topo Hausdorff thì $Y$ cũng là không gian topo Hausdorff và ngược lại.
• Cho nên không gian R với tô pô chuẩn thì không đồng phôi với không gian R với tô pô phần bù hữu hạn, vì không gian R với tô pô chuẩn là không gian Hausdorff, còn không gian R với tô pô phần bù hữu hạn thì không.

Các khái niệm khác

• Phép nhúng

của $X$ trong $Y$ là một ánh xạ: $f:X\to Y$ sao cho $f$ là phép đồng phôi giữa $X$ và không gian con $f(X)$ của $Y$.

• Cho $X$ là không gian topo.Nếu $f:[-1,1]\to X$ là một phép nhúng thì ảnh của $f$ là một cung trong $X$.Nếu $f:S^{1}\to X$ là một phép nhúng thì ảnh của $f$ là một đường cong đơn kín đơn giản trong $X$.
• Ví dụ: những nốt thắt dây là phép nhúng của một vòng tròn vào không gian 3 chiều.

những nốt thắt dây là phép nhúng của một vòng tròn vào không gian 3 chiều

Thư mục

• Colin, Adams, Introduce to Topology: Pure and Applied
• Huỳnh Quang Vũ, 2012, Lecture notes on Topology
• Manetti, Marco, 2014, Topology, ISBN 978-3-319-16958-3
• L. E. J. Brouwer, 1911, Beweis der invarianz des n-dimensionalen gebiets, Mathematische Annalen, 71 (1911): 305–313