I could actually follow this. :-) ( )

I read this a few years ago, and remember commenting that I thought it was so awesome that you can find absolute proof in math, but not in any other sciences. My more philophical friend said "math fans" were naïve to believe in something like absolute proof, but I still stand by that statement: it's nice to know that some things are true forever once you find proof of them.

I enjoyed it as much as the first time around, though I'm pretty sure I was a lot quicker to finish this time around. I'm not gonna say I understood half of the math in the book, but I understood enough to keep up with the story. Mostly.

Even the things I don't understand are pretty cool to learn about. Shit like imaginary numbers and prime numbers (I like prime numbers: I once wrote a story titled Indiana Jones and the Exotic Prime Numbers) are pretty out there, but the different ways you can categorize numbers (friendly numbers! Perfect numbers! Vampire something numbers!) makes me like them even more. I kept telling Chriss about the things I was learning, but I don't think she found it as fascinating as me, but politely listened to what I had to say anyway.

Fermat sounded like he would've been a very annoying person to hang out with though.

( )

A fascinating read about attempts throughout the ages to conquer math's greatest puzzle finally solved by British mathematician, Andrew Wiles, in the late 20th century. Along the way we read about milestones, famous mathematicians, and are reminded of all that algebra we've since forgotten. Highly recommended and entertaining. ( )

“The definition of a good mathematical problem is the mathematics it generates rather than the problem itself.”

Fermat's Last Theorem states that: xⁿ yⁿ = zⁿ has no whole number solutions for any integer n greater than 2. Simon Singh fashions the quest to solve this 350-year-old mathematical enigma into a compelling story. In the 1630s, when Pierre de Fermat scribbled a note on a page of his copy of Diophantus’s Arithmetica, stating (in Latin) his theorem and indicating “I have a truly marvelous demonstration of this proposition, which this margin is too narrow to contain.” Singh takes the reader through a series of minibiographies of past mathematicians, ultimately arriving at Andrew Wiles, who spent over eight years developing the 130-page proof.

Along the way, the reader will learn a great deal about number theory, logic, and the rigorous standards required to achieve an absolute proof. This book covers a wide variety of people and their contributions over the years, such as Pythagoras, Leonhard Euler, Sophie Germain, Gabriel Lame’, Augustin Cauchy, Ernst Kummer, David Hilbert, Kurt Godel, Alan Turing, Goro Shimura, and Yutaka Taniyama.

The highlight of the book is, of course, Andrew Wiles who discovered Fermat’s Last Theorem at the age of ten, and dedicated himself to figuring out a proof, no matter how long it took. Wiles decided to keep his work secret and work alone in his attic. “You might ask how could I devote an unlimited amount of time to a problem that might simply not be soluble. The answer is that I just loved working on this problem and I was obsessed. I enjoyed pitting my wits against it.”

We learn about the Shimura-Taniyama conjecture, and the relationship between elliptic curves and modular forms. Singh never gets bogged down with calculations – they are instead included in the Appendices. I have a background in mathematics, so this type of subject matter appeals to me, but I daresay it is not required to enjoy this story of challenge, perseverance, and discovery.

4.5 ( )

Everything that a popular science book should be. It’s actually fast paced. I’m not even particularly interested in maths and it had me hooked. It tells the story of the theorem through a history of the mathematics that relate to it and there’s the inside story of the final proof and Wiles’ year of hell.

What particularly impressed me was how Singh explained the maths. He keeps the notation to a minimum and has a particular way of introducing news ideas (you’ll see what I mean if you read it) so that even someone like me whose brain just doesn’t work that way can follow it. Quick to read, but must have taken ages to get right on the page. ( )

Easy and very entertaining read. It is a short, but very interesting introduction in the history of Mathematics, while telling the story of Fermat's Last Theorem demonstration. ( )

A complex subject rendered in an understandable manner. Good reading for mathematically inclined and novices.

Great book. It takes you on a journey from Pythagoras and Ancient Greece to modern mathematics, exploring the various events and people that contributed to the field. Some knowledge of mathematics will help understand the book better and appreciate it more. ( )

Maravilloso relato sobre el teorema de Fermat, su planteamiento y los sucesivos intentos de demostración que se han sucedido por parte de los más grandes matemáticos, hasta llegar a Andrew Wiles. El libro está muy bien escrito y a pesar de que intenta incluso meterse en las curvas semielípticas nunca pierde la inteligibilidad. Muy recomendable. ( )

I must say this was one of the easiest-to-read books about mathematics I have encountered. It told a story that stayed interesting from beginning to end, and it didn't get bogged down in calculus or even more rarefied areas of mathematics. And I especially appreciated how the proofs for various propositions were included in a series of appendices instead of interrupting the text. ( )

I must say this was one of the easiest-to-read books about mathematics I have encountered. It told a story that stayed interesting from beginning to end, and it didn't get bogged down in calculus or even more rarefied areas of mathematics. And I especially appreciated how the proofs for various propositions were included in a series of appendices instead of interrupting the text. ( )

Fascinating and compelling tour through some of the history of mathematics and some of the significant developments from the eighteenth century to the publication at the last gasp of the twentieth of something very remarkable indeed: an advanced mathematical proof that captured the public imagination and made a hero of a shy and rather gawky man with a predilection for bad sweaters.

What Andrew Wiles set out in his 1997 paper was not, it turns out, a direct proof of Fermat's Last Theorem but a proof of the Modularity Theorem, a much more abstruse idea with little obvious connection to Fermat's algebraic conundrum, which somebody else had earlier shown to imply Fermat's theorem if true. Such is the interconnectedness of modern mathematics. Such, too, is the interdependency of developments on the work of many individuals. It's long been a contention of mine that great breakthroughs are never the work of individual geniuses working on their own, but the culmination of a process where many minds gradually build up the conditions that make the breakthrough possible. As Isaac Newton (whose role in this story is only a minor cameo) once remarked, "If I have seen further it was only by standing on the shoulders of giants". All credit to Wiles though for his single-minded persistence over many years, during which his work produced spinoffs that were significant developments in themselves and helped to fire the work of others in the mathematical community. Perhaps slightly less creditworthy (because it involved holding back work that would have helped others) but entirely understandable is the way Wiles kept information to himself because he didn't want anybody else building on his work and stealing that ultimate triumph.

It's brave of Simon Singh to put forward a book about maths that is neither out of the reach of a general readership nor too simple to satisfy the more mathematically-minded, but he's done a reasonably good job. He's framed it in such a way as to build suspense, not an easy thing to do with this material and I suspect that the reality was much more mundane. I can live with that. It's in the nature of the subject matter, though, that it's going to be a frustrating experience for the curious. Singh mentions Modular Forms, not unreasonably as they turn out to hold the key to the mystery, and they sounded fascinating involving complex numbers as they do, but he doesn't go into much detail. So I turned to Wikipedia. BIG mistake! My head all but exploded. Hey ho, I was always much too impatient to make much of a mathematician.
( )

Fascinating and compelling tour through some of the history of mathematics and some of the significant developments from the eighteenth century to the publication at the last gasp of the twentieth of something very remarkable indeed: an advanced mathematical proof that captured the public imagination and made a hero of a shy and rather gawky man with a predilection for bad sweaters.

What Andrew Wiles set out in his 1997 paper was not, it turns out, a direct proof of Fermat's Last Theorem but a proof of the Modularity Theorem, a much more abstruse idea with little obvious connection to Fermat's algebraic conundrum, which somebody else had earlier shown to imply Fermat's theorem if true. Such is the interconnectedness of modern mathematics. Such, too, is the interdependency of developments on the work of many individuals. It's long been a contention of mine that great breakthroughs are never the work of individual geniuses working on their own, but the culmination of a process where many minds gradually build up the conditions that make the breakthrough possible. As Isaac Newton (whose role in this story is only a minor cameo) once remarked, "If I have seen further it was only by standing on the shoulders of giants". All credit to Wiles though for his single-minded persistence over many years, during which his work produced spinoffs that were significant developments in themselves and helped to fire the work of others in the mathematical community. Perhaps slightly less creditworthy (because it involved holding back work that would have helped others) but entirely understandable is the way Wiles kept information to himself because he didn't want anybody else building on his work and stealing that ultimate triumph.

It's brave of Simon Singh to put forward a book about maths that is neither out of the reach of a general readership nor too simple to satisfy the more mathematically-minded, but he's done a reasonably good job. He's framed it in such a way as to build suspense, not an easy thing to do with this material and I suspect that the reality was much more mundane. I can live with that. It's in the nature of the subject matter, though, that it's going to be a frustrating experience for the curious. Singh mentions Modular Forms, not unreasonably as they turn out to hold the key to the mystery, and they sounded fascinating involving complex numbers as they do, but he doesn't go into much detail. So I turned to Wikipedia. BIG mistake! My head all but exploded. Hey ho, I was always much too impatient to make much of a mathematician.
( )

It's been many years since I read The Code Book by the same author, which I had really enjoyed. Ever since I read that, I had an interest in reading this book as well, but I never did, in part because there was no kindle version until recently. Now I'm glad I did. This one wasn't quite as good as I recall the other one being, but probably only because I was less close to the subject material. What remains true is that he does an excellent job of explaining difficult/technical material in a way that is understandable and doesn't lose (too) much in over-simplification. There were clearly some tangents just to tell other interesting stories in math history that didn't have much real bearing on the subject, but I liked that fact about the book. It also raised fun memories of doing the basic/famous proofs years ago when I learned a bit of basic number theory. ( )

Not only is it a how-to-prove-it story, it also tells a marginal story about logicians, mathematicians throughout three centuries, including Leonhard Euler, Sophie Germain, Betrand Russell, Augustin Louis Cauchy, etc. ( )

Highly entertaining account of a mathematical puzzle that remained unsolved for 358 years......until 1995. ( )

“সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান”-বাংলা মধ্যম শিক্ষা ব্যবস্থার ছাত্র-ছাত্রীরা বিজ্ঞান, ব্যবসা, মানবিক ইত্যাদি ‘শ্রেণীগত পার্থক্য’ভেদে সকলেই নবম শ্রেণীতে ‘পীথাগোরাসের উপপাদ্য’ নামে পরিচিত উপপাদ্য-২৩ পড়ে এসেছেন।


চিত্রের সমকোণী ত্রিভুজের (অর্থাৎ যে ত্রিভুজের একটি বাহু অপর বাহুর সাথে ৯০ ডিগ্রী কোণে অবস্থিত) অতিভুজ c, লম্ব a এবং ভূমি b। পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে a^2 b^2 = c^2। a, b এবং c এর কিছু মান বসিয়ে সমীকরণের দু পাশ সমান করে ফেলা যায়, সবচেয়ে সহজ একটি উদাহরণ হলো:

৩^২ ৪^২ = ৫^২
বা, ৯ ১৬ = ২৫

দু হাজার বছরেরও বেশী পুরনো এই উপপাদ্যটি আজ আমাদের প্রতিদিনের জীবনে অসংখ্যবার ব্যবহৃত হচ্ছে। এই উপপাদ্য দিয়ে টিভিস্ক্রীন/ কম্পিউটার মনিটর নির্মাতা পর্দার আকার মাপছেন, জ্যোতির্বিদ তারার মাঝের দূরত্ব গুনছেন, ইলেক্ট্রিক্যাল ইঞ্জিনিয়ার ফেজর কারেন্ট হিসেব করছেন, সিভিল ইঞ্জিনিয়ার লোড পরিমাপ করছেন, অর্থনীতিবিদ যোগান আর চাহিদার হিসেব মেলাচ্ছেন......মোট কথা, আমাদের আজকের সভ্যতা যে বিন্দুতে দাঁড়িয়ে আছে তার পেছনে আছে a^2 b^2 = c^2 জাদুকাঠিসরূপ এই সমীকরণটির অকল্পনীয় অবদান। এই উপপাদ্যটি ছাড়া প্রকৌশলবিদ্যার কোন একটি শাখাও সচল নয়! এ লেখার উদ্দেশ্য পীথাগোরাসের বা তাঁর উপপাদ্যের জয়গান গাওয়া নয় (উপপাদ্যটি আদৌ পীথাগোরাসের নিজস্ব উদ্ভাবিত কিছুও নয়! তাঁর জন্মের বহু আগে থেকেই একাধিক সভ্যতা এই উপপাদ্যটির ব্যবহার করে আসছিলো)। পীথাগোরাসের উপপাদ্য বিভিন্ন প্রকৌশল বিদ্যার অপরিহার্য অঙ্গ হিসেবে এমনিই গরীয়ান, কিন্তু আরো একটি বিষয় উপপাদ্যের সমীকরণটিকে অনন্য করে তুলেছে। ৩৭৭ বছর আগে, ১৬৩৭ সালে ফরাসী গণিতবিদ পিয়ে দ্যা ফার্মা একটি উপপাদ্য দাঁড় করালেন। “নিম্নোক্ত সমীকরণটির কোন সমাধান পূর্ন সংখ্যায় কখনোই পাওয়া যাবেনাঃ

a^n b^n = c^n যেখানে a, b, c ও n পূর্ণ সংখ্যা ও n এর মান ২ এর চেয়ে বড় যে কোন সংখ্যা"

অর্থাৎ, a^3 b^3 কখনোই c^3 এর সমান হবেনা, a^4 b^4 কখনোই c^4 এর সমান হবেনা……a^100 b^100 কখনই c^100 এর সমান হবেনা……a^9999999999999…….(অসীম) b^9999999999999…….(অসীম) কখনোই c^9999999999999…….(অসীম) এর সমান হবেনা; n এর মান ২ এর ওপর যে কোন পূর্ণ সংখ্যার জন্যই সমীকরণটির কোন সমাধান নেই। “সংখ্যার সংখ্যা কত” এমনটা কেউ বলতে পারবেনা কখনোই। সবচেয়ে বড় শেষ সংখ্যাটির সাথে এক যোগ করে দিলেই আরেকটি নতুন সংখ্যা তৈরী হয়ে যায়। অসীম সংখ্যক সংখ্যার একটি দিয়েও a^n b^n = c^n সমীকরণটির সমাধান করা যাবেনা? বেশ তো, পরখ করে দেখলেই হয়! a, b, c ও n এর বিভিন্ন মান (অবশ্যই পূর্ন সংখ্যায়) নিয়ে একটার পর একটা হিসেব করেই দেখা যাক। কিছুদূর এগোলেই অবশ্য বোঝা যায় কি ভয়ানক দুঃসাধ্য একটি কাজ এটি! চলক বা ভ্যারিয়েবল গুলোর মান বাড়াবার সাথে সাথে হিসেবটাও ভীষণ বড় ও কঠিন হয়ে পড়ে। আজকের দিনে না হয় কম্পিউটার আছে, সেকেন্ডের মাঝে যা লক্ষ লক্ষ হিসেব করে দেবে, ৩৫০ বছর আগে ফার্মা কিভাবে এমন একটি দাবী জানালেন? ফার্মা কি একের পর এক মান হাতে বসিয়ে হিসেব করে দেখেছেন? সেটি বাস্তব সম্মত কোন উপায় নয়। বাকী থাকলো যুক্তির প্রয়োগে উপপাদ্যটি প্রমাণ করা। ফার্মা অত্যন্ত খেয়ালী একজন গণিতবিদ ছিলেন। তিনি ডায়োফেন্টাস এর অ্যারিথমেটিকা বইটি সবসময় বগলদাবা করে রাখতেন এবং কোন থিওরেম তাঁর মাথায় এলে সেটা এই বইয়ের মার্জিন এ লিখে রাখতেন। ফার্মা প্রায় ৩০০ এর মতো সমস্যা লিখে গেছেন এই মার্জিন এ। আলোচ্য সমস্যাটিকে তাঁর শেষ উপপাদ্য বলা হয়ে থাকে। ফার্মা তাঁর অ্যারিথমেটিকা বইয়ের মার্জিনে সমস্যাটি লিখে নিচে লিখেছিলেন, “এই উপপাদ্যটির একটি দারুণ সমাধান আমার জানা আছে, কিন্তু এই মার্জিনটি তা লেখার জন্য যথেষ্ট চওড়া নয়”!
একটি অঙ্ক করতে সর্বোচ্চ কত সময় লাগতে পারে? ১ ঘন্টা? ১ দিন? ১ বছর? ১ যুগ? ফার্মার শেষ এই উপপাদ্যটি ৩৫৮ বছর ধরে পৃথিবীর বড় বড় গণিতবিদদের মুখ ভেংচিয়ে গেছে। ৩৫৮ বছরেও কেউ উপপাদ্যটি প্রমান করতে পারেননি! মাত্রই ১৯ বছর আগে ১৯৯৫ সালে প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক অ্যান্ড্রু উইলস অবশেষে উপপাদ্যটির সমাধান করলেন, দীর্ঘ ৮ বছর যুদ্ধ করবার পর। যে বিপুল গবেষণা ও পড়ালেখা এই সমাধানটির পেছনে বিনিয়োগ করতে হয়েছে উইলস কে, তাকে যুদ্ধ বলাটাই মানায়। “Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem"-বইয়ে সাইমন সিং বিবৃত করেছেন উইলস এর সেই ৮ বছর ব্যাপী সংগ্রাম এর গল্প। সিং এর লেখায় এই বইটি উইলস এর অসাধারণ ধৈর্য্য ও অধ্যবসায় এর চমৎকার একটি ডকুমেন্টারি হয়ে থাকলো।

মুহম্মদ জাফর ইকবাল এর ‘[b:নিউরনে আবারো অনুরণন|17664068|নিউরনে আবারো অনুরণন|Muhammed Zafar Iqbal|https://d.gr-assets.com/books/1411285054s/17664068.jpg|24656264]’ যাঁরা পড়েছেন, তাঁরা ফার্মা সংক্রান্ত এ তথ্যগুলো আগেই জানেন। জাফর ইকবাল লিখেছিলেন অ্যান্ড্রু উইলস গণিতের খুব আধুনিক কিছু বিষয়ের ব্যবহার করে ফার্মার উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছেন, যা ফার্মার সময়ে উদ্ভাবিতই হয়নি। সাইমন সিং খুব সহজ ভাষায় বর্ণনা করেছেন গণিতের নতুন সেই সংযোজনগুলোর কথা। ১০ বছর বয়েসে অ্যান্ড্রু উইলস প্রথম ফার্মার সমস্যার সাথে পরিচিত হন, তখনি তিনি এটি সমাধান করাকে জীবনের একমাত্র লক্ষ্য হিসেবে দাঁড় করিয়ে ফেলেছিলেন। ৩৯ বছর বয়েসে এসে প্রমাণ সম্পন্ন করতে উইলসকে প্রচুর নতুন বিষয় শিখতে হয়েছে। বিষয়গুলো এত চমৎকার যে কিছু প্রাথমিক ধারণা এখানে জুড়ে দেয়ার লোভ সামলাতে পারছিনা! উইলস এর প্রমাণটি মূলত দাঁড়িয়ে আছে তানিইয়ামা-শিমুরা ধারণা (কঞ্জেকচার) এর ওপর। তানিইয়ামা-শিমুরা কঞ্জেকচার বলে সকল এলিপ্টিক্ ইকুয়েশন ই মডিউলার ফর্ম! খুব কঠিন হয়ে গেলো কি?

গণিতে x^3 – x^2 = y^2 y এ ধরণের সমীকরণকে বলা হয় এলিপ্টিক্ ইকুয়েশন। একটি সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান থাকতে পারে, প্রত্যেকটি নিয়ে আলাদা ভাবে কাজ করতে যাওয়াটা নিতান্ত বোকামী। সমীকরণের সম্ভাব্য সকল সমাধানকে সসীম একটি ছোট্ট স্পেসে প্রকাশ করতে পারলে কাজটা এক্কেবারেই সহজ হয়ে পড়ে। মানুষ ঘড়ি আবিষ্কার করেছে সময়কে একটা ছকে ফেলে কাজ সহজ করে ফেলবার জন্য। ঘড়ি না থাকলে বিশাল বিস্তৃত সময়ের কোন বিন্দুতে আমরা আছি তা কখনো বুঝতেও পারতাম না (এখনও যে খুব পারি তাও নয়, তবু একটা ধারণা অন্তত করতে পারি)। অমুক কাজটা রাতে করে দেবো বললে তা খুব বিভ্রান্তিকর শোনায়, কারণ রাত অনেকগুলো অন্ধকার সময়ের যোগফল; রাতে কখন কাজটা হবে তা নিশ্চিত হওয়া যায়না। রাত ন’টায় করে দেবো বললে মাথাটা পরিষ্কার হয়ে যায়। সময়ের এই সঠিক পরিমাপের জন্যই মানুষ ঘড়িতে সময়কে ১২ টা ভাগে ভাগ করে নিয়েছে। সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রেও এই বুদ্ধি খাটানো যায়।



চিত্রের ঘড়িটি ফাইভ-ক্লক অ্যারিথমেটিক সিস্টেম। ৪ থেকে ১ ঘর সামনে আগালে আমরা ০ এ পৌঁছাই, অর্থাৎ, সাধারণ গাণিতিক হিসেবে যেখানে ৪ ১ = ৫, ফাইভ-ক্লক অ্যারিথমেটিক সিস্টেমে ৪ ১ = ০। ৪ থেকে ২ ঘর সামনে আগালে পৌঁছাই ১ এ। সাধারণ গাণিতিক হিসেবে ৪ ২ = ৬, ৫-ঘড়ি পদ্ধতিতে ৪ ২ = ১…ইত্যাদি।
ওপরে উল্লেখিত x^3 – x^2 = y^2 y সমীকরণটির সমাধান ৪টিঃ

x = 0, y = 0
x = 0, y = 4
x = 1, y = 0
x = 1, y = 4

শেষ সমাধানটি (x = 1, y = 4) সাধারণ গাণিতিক হিসেবে ঠিক গ্রহণযোগ্য না হলেও ৫-ঘড়ি পদ্ধতিতে মাপে মাপে মিলে যায়ঃ
x^3 – x^2 = y^2 y
1^3 -1^2 = 4^2 4
1-1 = 16 4
0 = 20
যেহেতু ৫-ঘড়ি পদ্ধতিতে ৫ = ০, ৫ এর সকল গুণিতকও (৫, ১০, ১৫, ২০……) তাই ০ ই হবে। ৫-ঘড়ি পদ্ধতিতে সংখ্যা ছিলো ৫টি (০,১,২,৩,৪), আর সমাধান ছিলো ৪টি, তাই একে E5 = 4 লেখা হয়। যদি ৭ ঘড়ি পদ্ধতি ব্যবহার করা হতো (অর্থাৎ ঘড়িতে দেয়া সংখ্যাগুলো হতো ০,১,২,৩,৪,৫,৬) তাহলে সমাধান হতো ৯টি। এটাকে এখন একটা সিরিজ আকারে লিখে ফেলা যেতে পারেঃ (E সিরিজ)


ইত্যাদি।

এবার আসা যাক মডিউলার ফর্ম এ।


চিত্রের x ও y অক্ষের মাঝে আটকে পড়া বর্গটির রোটেশনাল ও রিফ্লেকশনাল সিমেট্রি বিদ্যমান, অর্থাৎ বর্গটিকে একই অবস্থানে রেখে উল্টে দিলেও এটি দেখতে একইরকম লাগবে, কোন পরিবর্তন ধরা পড়বেনা, এটি হল রোটেশনাল সিমেট্রি। যদি x এবং y অক্ষ বরাবর দুটি আয়না রেখে বর্গটিকে উল্টে পাল্টে ঘোরানো হয়, তাহলেও মনে হবে বর্গের প্রথম অবস্থার কোন পরিবর্তন হয়নি, এটাই রিফ্লেকশনাল সিমেট্রি। যদি এখন বর্গটিকে ধাক্কা দিয়ে সামনের দিকে সরিয়ে দেয়া হয়, তা হলে x এবং y অক্ষের সাপেক্ষে বর্গের অবস্থানের পরিবর্তনটি স্পষ্ট ধরা পড়বে চোখে, অর্থাৎ এর ট্রান্সলেশনাল সিমেট্রি নেই।



এই চিত্রে এবার অসীম সংখ্যক বর্গ আঁকা হলো, x ও y অক্ষের সাপেক্ষে। এই বর্গগুলোর রোটেশনাল ও রিফ্লেকশনাল সিমেট্রি তো আছেই, এদের ট্রান্সলেশনাল সিমেট্রিও বিদ্যমান। কারণ, বর্গগুলো কোনভাবে চলতে শুরু করলে অক্ষদুটির সাপেক্ষে কোন বর্গটি কোথায় গেল বা তাদের অবস্থানের আদৌ কোন পরিবর্তন হলো কিনা তা আর বোঝার উপায় থাকবেনা। সবদিক থেকেই অসীম সংখ্যক বর্গগুলোর সিমেট্রি বা সমতা একইরকম থাকবে। এটিকে ঠিক মডিউলার ফর্ম বলা চলেনা, কারণ মডিউলার ফর্ম পাওয়া যায় চার ডিমেনশন এর স্পেসে, আমরা আমাদের তিন ডিমেনশন (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা) এর জগতের অভিজ্ঞতা দিয়ে চার ডিমেনশন এর বস্তুর ধারণা করতে পারবোনা। মডিউলার ফর্মের সাথে সিমেট্রির সম্পর্কের বিষয়টি ইঙ্গিত করবার জন্যই বর্গক্ষেত্র সংক্রান্ত আলোচনা এখানে! চার ডিমেনশন এ বাস করা আশ্চর্য সিমেট্রিক মডিউলার ফর্মেরা নির্দিষ্ট কিছু উপকরণ (ইনগ্রেডিয়েন্টস) দিয়ে গঠিত। প্রত্যেকটি মডিউলার ফর্ম ই একে অন্যের চেয়ে আলাদা এই উপকরণের বেশকমের কারণে। উপকরণের সংখ্যানুসারে সাজালে মডিউলার ফর্মের জন্যও একটি সিরিজ পাওয়া যায়, এলিপ্টিক কার্ভের E সিরিজের মতো, একে বলা হয় M সিরিজ। ১৯৫০ এর দশকে দুই জাপানী গণিতবিদ বন্ধু ইয়ুতাকা তানিইয়ামা ও গোরো শিমুরা লক্ষ্য করেন এলিপ্টিক কার্ভের E সিরিজ আর মডিউলার ফর্মের M সিরিজ একেবারে হুবহু মিলে যাচ্ছে, এ থেকে তাঁরা ধারণা করলেন সকল এলিপ্টিক সমীকরণ ই আসলে মডিউলার ফর্ম। তবে এটির পক্ষে কোন প্রমাণ তাঁরা করে যেতে পারেননি, তানিইয়ামা’র অকস্মাৎ আত্নহত্যার দরুন।

তানিইয়ামা-শিমুরা কঞ্জেকচার দিয়েই যে ফার্মার উপপাদ্য প্রমাণিত করা যাবে এ ধারণা দিয়েছিলেন জার্মান গণিতবিদ গেরহার্ড ফ্রে। “মনে করা যাক ফার্মার সমস্যাটির একটি সমাধান আছে”-এই অনুমানের পথে হেঁটে ফ্রে এক নতুন ধরণের এলিপ্টিক কার্ভ আবিষ্কার করলেন যা মডিউলার নয়, তানিইয়ামা-শিমুরার কঞ্জেকচারের সরাসরি বিরোধী। অ্যান্ড্রু উইলস যখন আট বছরের দীর্ঘ সংগ্রাম শেষে উপপাদ্যটি প্রমাণ করলেন, তাঁর প্রমাণটি শুধু ফার্মার সমস্যাটির সমাধানের কাজেই আসেনি, বরং তা গণিত ও নাম্বার থিওরির একাধিক শাখার বিস্তারেও বড় ভূমিকা রেখেছে। তানিইয়ামা-শিমুরা কঞ্জেকচার এখন আর শুধুই একটি কঞ্জেকচার বা অনুমান নয়, এটি একটি স্থাপিত সত্য। গাণিতিক এই তত্ত্বগুলো পরস্পরের সাথে এত দৃঢ়ভাবে সম্পর্কিত, যে শুধু একটির প্রমাণ-ই বাকিগুলোর প্রমাণের জন্য যথেষ্ট, অনেকটা যেন ডমিনো এফেক্টঃ


অ্যান্ড্রু উইলস বেশ কিছু আধুনিক গাণিতিক হাতিয়ারে নিজেকে সজ্জিত করে ফার্মার উপপাদ্যটি প্রমাণ করেন। এর মধ্যে প্রধান দুটি হলো আইওয়াসাওয়া থিওরী ও কোলিভাগিন-ফ্ল্যাখ মেথড। সদ্য রপ্ত এই বিদ্যাগুলোর প্রয়োগের বেলায় উইলসকে প্রায়ই প্রচন্ড হতাশাজনক পরিস্থিতির ভেতর দিয়ে যেতে হয়েছে। এই টেকনিকগুলো কত কঠিন সে বিষয়ে উইলস বলেছেন সর্বোচ্চ শিক্ষা প্রাপ্ত একজন পেশাদার গণিতবিদেরও এই বিষয়গুলো আয়ত্তে আনতে অন্তত দু-তিন মাস লাগবেই! ফার্মার সমস্যাটির জটিলতার আরেকটি নির্দেশক এটি।

১৬৩৭ সালে তানিইয়ামা-শিমুরা কঞ্জেকচারের অস্তিত্ব ছিলোনা। ছিলোনা কোলিভাগিন-ফ্ল্যাখ মেথড, আইওয়াসাওয়া থিওরী, মডিউলার ফর্ম, মিয়াওকা অসমতা-এসবের কিছুই। মাত্র ১টি গাণিতিক সমস্যার প্রমাণে ১৫০ পৃষ্ঠা জুড়ে এতগুলো টেকনিকের ব্যবহার ইতিহাস আগে কখনো দেখেনি। উইলস এর এই প্রমাণটি ফার্মার আসল প্রমাণ নয়। ফার্মা কি আদৌ তাঁর সমস্যাটির সমাধান বের করেছিলেন? এক সময় হয়তো এই রহস্যেরও সমাধান হবে, হয়তো আরো অনেক সহজ কোন পদ্ধতি আবিষ্কৃত হবে, তবু অ্যান্ড্রু উইলস এর ১টিই অঙ্ক কষার পেছনে ৮ বছরের পরিশ্রমের গল্প চির অম্লান থাকবে। গণিতের সাথে মোটেই সম্পৃক্ত নয় এমন অনেকেই ৮ বছর লাগিয়ে একটি অঙ্ক করার হাস্যকর দিকটি বের করে উইলসকে নিয়ে নিয়মিত তামাশা করেছে। যে পরিমাণ পরিশ্রম ও লেখাপড়া উইলসকে করতে হয়েছে তার সম্পর্কে কোন ধারণাই হয়তো এই মানুষগুলোর কখনোই হবেনা। মানুষ হিসেবে অন্য মানুষের এ আচরণগুলো মেনে নেয়াটা প্রচণ্ড কষ্টকর ও হতাশাদায়ক এবং ক্ষেত্রবিশেষে মানুষকে সম্মান করার ব্যাপারে মনকে সন্দিহান করে তোলে, সন্দেহ নেই, তবু উইলস এর গল্প শেষ পর্যন্ত মনে করিয়ে দেয়, মানুষ ই তো পারে! ( )

Fascinating and gripping read. Part mystery, part tragedy, part celebration of the human spirit. Highly recommend it and no you don't really need to know or understand anything about maths.
( )

from the foreword:
"it turned out that everyone had been working on Fermat, but separately and without having it as a goal."


While reading this book, I started thinking about the extraordinary coincidence of so many great mathematicians whose surname began with "W" and also contained an "L" and was just one syllable. Namely, Andre Weil, Hermann Weyl and Andrew Wiles.
Also Wolf and the Wolf prize, not to be confused with the Wolfskehl prize. The latter prize was set up to reward anyone who could come up with a verified proof of Fermat's Last Theorem within one hundred years from the time it was set up, so the deadline was in 2009.

The Langlands program called for uniting various math specialties that had, over time, drifted apart. This book tells about how all the different threads from various areas of mathematics had to be pulled together so that Andrew Wiles could meet that deadline. It wasn't the full Langlands program, but a very remarkable example of how fruitful these relinkings can be.

The first part of the book overlapped with other books I have read that discuss history of mathematics. Around the midpoint, I started learning more. I learned something about the Taniyama-Shimuro conjecture. Other books had referred to it, but hadn't given quite enough detail to leave it anything but obscure mystery in my mind.

I've had this book on my personal to-read list for a long time. I'm glad I found this book in the public library. It was every bit as good as I had expected when I first put it on my list.
( )

There is much more details of mathematical proofs than in other works of popular mathematics I've read. Still I feel some more could've been added without making it unreadable for the beginner. ( )

Written for a general audience without much mathematics background, and therefore very easy to follow. Those wanting something more in-depth and challenging may want to pass. ( )

I am blown away by this book. I've read so many nonfiction math and physics books that they were starting to repeat themselves. So, when I picked this one up I thought, "Well, it's probably more of the same, but it's popular enough I should really add it to my repertoire." Way wrong thought. Not only does this book contain even more charming mathematical anecdotes than I'd ever read before, but it also contains better written versions of the stories I'd heard of. For example, I knew about Sophie Germain, but I didn't know she'd saved Gauss' life. I knew all about the burning of Alexandria, but I didn't know it was Mark Antony who attempted to rebuild the great library. I knew Galois died young in a duel, but I never knew the full story.

I read [b:The Code Book|17994|The Code Book The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography|Simon Singh|https://d.gr-assets.com/books/1403181687s/17994.jpg|1031975] in high school, and I remember it being good, but in a recreational way. It piqued my interest but I didn't really shelf it with "high literature" like I did with [b:Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid|24113|Gödel, Escher, Bach An Eternal Golden Braid|Douglas R. Hofstadter|https://d.gr-assets.com/books/1428732588s/24113.jpg|850076] or [b:Music of the Spheres: The Material Universe From Atom to Quaser, Simply Explained|393653|Music of the Spheres The Material Universe From Atom to Quaser, Simply Explained (Volume II The Microcosm Matter, Atoms, Waves, Radiation, Relativity)|Guy Murchie|https://d.gr-assets.com/books/1387716643s/393653.jpg|383216]. It was enough for me, a young geeky teenager, to have a little fun playing with codes, then move on to another book. I am very happy that I returned to Singh, and I can confidently say this is the better of the two I've read. Mathematicians sure are a romantic lot. ( )

I love this book - it reads like a mystery full of obsessive people trying to solve a problem. I liked the math, and while the author, while not a mathematician, manages to simplify it to the point where a non-math person might understand the underlying logic.

The story is full of odd characters, many of them obsessive. Most of them not likeable (which adds to the story). The story of Andrew Wiles, the man who finally cracked Fermat's Last Theorem, is quite good, and is the reason this book was written, but is really only a small part of this tale. It is written as part of the overall history, not just a major part of it.

While the book is about the path to Fermat's Last Theorem, but because so many new ideas came about from the path of solving it, this book can be seen as a brief history of math. Highly recommended if you like pop-science type books and mathmatics, but without all the hard stuff. ( )

Bisogna riconoscere 'pathos' alla narrazione, anche se tratta di una materia che ricorda piu' gli esami di riparazione che non gare, intrighi, lotte, seminari, delusioni e premi.
In realtà è l'avventura di una scoperta a cui Indiana Jones non ci aveva abituato, ed è la scoperta intellettuale. Non è la pietra filosofale, ma un materiale ancora più prezioso: la storia di uomini che per secoli cercano la verita', trasformando i limiti in confini, superandoli, trascinando tutta l'umanita' con loro, un passo più in la'.
Affascinante. ( )

Fermat's Last Theorem begins with Pythagoras, goes through Fermat's positing of his theorem, the attempts by Euler and others to solve it, and culminates with Andrew Wiles's solution. It is generally entertaining and has the occasional equation, with a few more in the Appendix. But most of the relatively light analytical machinery in the book is devoted to ancillary problems or general illustrations, Singh does not even go beyond an extremely superficial description of the main feature of Fermat's proof in the case of n=4. Instead a lot of the space is filled with detours that are often found in these sorts of books, from the role of women in French mathematics in the 19th Century to the puzzle fad in the early 20th Century. In that way this book fell short of Singh's Big Bang which felt more focused and a little more thorough in trying to describe how scientists discovered what they did about the big bang. ( )