循環表示

循環表示（Cycle Notation），又叫做$k$循環（$k$-cycle），係一種數學上嘅表達。主要係用嚟簡化執位入面轉換。

循環表示係由法國數學家郝氏（Cauchy）喺1815年發明，佢可以好簡單咁表達一個執位。

例如：$\phi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&4&6&5&3\end{bmatrix}}$

就可以簡化做$\phi =(12)(346)(5)$。

因為$(5)$係得自己一個，所以可以寫做$\phi =(12)(346)$。

解釋

表示$\phi$嘅$(5)$嘅循環。

利用上面嘅例子，$(12)$嘅意思係$\phi (1)$之後出$2$；$\phi (2)$之後出$1$。咁因為$1$去$2$，之後$2$又去返$1$，咁就出現咗一個循環。可以參考下右面嘅圖片。

考慮另一個例子：$\varphi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&6&4&2\end{bmatrix}}$

咁$\varphi$可以寫成$(2315)(46)$同$(46)(2315)$。

一般，$(2315)$有四嚿嘢，所以佢嘅長度係$4$，會叫佢做$4$-循環（$4$-cycle）。

如果$(123\cdots k)$有$k$咁多嚿嘢，咁佢就係一個$k$-循環（$k$-cycle）。

表示$\phi$入面$(365)$之間嘅循環。

同時，$(46)$都可以代表住${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&6&5&4\\\end{bmatrix}}$；咁$$(2315)(46)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&4&2&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&6&5&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&3&1&6&2&4\end{bmatrix}}$$。

如果又有兩個執位$\alpha =(12)(56)$，$\beta =(346)(152)$。

咁$\alpha \beta =(12)(56)(346)(152)$。呢嚿嘢係右睇到左，睇最右個循環$1\to 5$；之後右面數起第二係無$5$，所以跳過佢；去到下一格$5\to 6$；到最後一格都係無$6$，所以最後$1\to 5\to 6$。

表示$\phi$嘅$(12)$嘅循環。

因此：$1\to 5\to 6;2\to 1\to 2;3\to 4;4\to 6\to 5;5\to 2\to 1;6\to 3$。$\alpha \beta =(16345)$

性質

非連接循環積存在

一個有限集嘅執位一定係一個循環或者係幾個循環嘅積。（呢幾個幾循環嘅積就係非連接循環，Disjoint Cycle）

非連接循環溝通性質

如果$\alpha =(a_{1}a_{2}\cdots a_{m})$同$\beta =(b_{1}b_{2}\cdots b_{n})$呢兩個循環係無重複嘅元素，咁$\alpha \beta =\beta \alpha$。

睇埋

• 群
• 執位
• 執位性質
• 群同位轉換