立方數

立方數係指可以寫成一個整數嘅立方嘅數，即係佢嘅立方根係整數。例如343係7嘅立方，所以係一個立方數。

同平方數唔同，立方數可以係負數，因為負數嘅立方係負數，但係負數嘅平方都係正數。

如果將立方數概念擴展到有理數，噉兩個立方數嘅比仍然係立方數，例如，(2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若果一個整數冇除咗 1 之外嘅立方數為因數，就稱為無立方整數。

頭十個立方數（OEIS數列A000578）係：1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000...（第零個係0）

立方數和

頭$n$個正立方數嘅和係$\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$，即第$n$個三角形數嘅平方

每個整數都可以表示成9個或以下嘅正立方數嘅和。（華林問題）

1939年，狄克森證明只有23同239需要用9個正立方數嘅和嚟表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個：15、22、50、114、167、175、186、212、231、238、303、364、420、428、454（（OEIS數列A018889））。

的士數同埋士的數都指最細能夠用兩種方法表示成兩個立方數嘅和嘅數，但的士數嘅必須為正數，士的數就可以用負立方數。（睇1729）

只有一組連續三個立方數嘅和一樣係立方數，就係3、4、5嘅立方，加埋等於6嘅立方（$3^{3}+4^{3}+5^{3}=27+64+125=216=6^{3}$）。

喺十進制，除咗1之外，得4個嘅正整數，每個數字立方嘅和係等同佢本身，佢哋係153、370、371、407，佢哋係$n=3$嘅自戀數。呢4個三位數，亦可視為將佢嘅數字分成三份，每份嘅立方嘅和，相似性質嘅整數有無限個，例如165033、221859、336700等（OEIS數列A056733）。

性質

• 除咗0以外，立方數無可能係普洛尼克數。
• 除咗0以外，立方數亦無可能係連續幾個（至少兩個）數嘅積。
• 除咗0、1、8以外，立方數無可能係費波那契數。
• 除咗1以外，立方數喺楊輝三角形最多只會出現兩次。
• 立方數無可能係楔形數、半質數。
• 0以外嘅立方數每一位數數字相加嘅和，唔停重複噉相加到剩一位數時必定係1、8、9。
• 喺連續立方數之間存唔存在一個質數呢一命題，對1000000000000以內嘅數字係啱嘅。
• 立方數係模任何整數嘅三次剩餘；另外，如果某個整數模任何整數都係三次剩餘，咁佢一定係立方數。
• 立方數嘅正因數數量一定係3嘅倍數加1。

其他

• 立方質數嘅定義係${\frac {x^{3}-y^{3}}{xy}}$，其中$x=y+1$或$x=y+2$。

睇埋

• 平方數
• 四次方數
• 五次方數
• 有形數