余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“餘留下的量”。当余数为零时，被称为整除。

自然数的余数

如果 $a$ 和 $d$ 是两个自然数，$d$ 非0，可以证明存在两个唯一的整数 $q$ 和 $r$ ，满足 $a=q*d+r$ 且 $0\leq r<d$ 。其中， $q$ 被称为商數， $r$ 被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

例子

• 13除以10，商为1，余数为3，$13=1*10+3$或$13\div 10=1\dots 3$。
• 26除以4，商为6，余数为2，$26=6*4+2$或$26\div 4=6\dots 2$。
• 56除以7，商为8，余数为0，$56=8*7+0$或$56\div 7=8\dots 0$。
• 9除以10，商为0，余数为9，$9=0*10+9$或$9\div 10=0\dots 9$。

一般整数的余数

如果 $a$ 与 $d$ 是整数，$d$ 非零，那么余数 $r$ 满足这样的关系：

$a=qd+r$ , $q$ 为整数，且$0\leq \left\vert r\right\vert <\left\vert d\right\vert$。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子${\frac {-42}{-5}}$的可以表达为

$-42=9\times (-5)+3$（在数学工作者中使用较多）

或

$-42=8\times (-5)+(-2)$.

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于處理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定余数和被除數同號。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数 $d$ 。通常，当除以 $d$ 时，如果正余数为$r_{1}$，负余数为$r_{2}$，那么

$r_{2}=r_{1}+d$。

Python 2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如${\frac {-42}{-5}}$表达为

$-42=8\times (-5)+(-2)$

而 ${\frac {42}{-5}}$ 则表达为

$42=(-9)\times (-5)+(-3)$

实数的余数

当 $a$ 和 $d$ 是实数，且 $d$ 非零，$a$ 除以 $d$ 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 $q$ 和唯一的实数r 使得：$a=qd+r$, $0\leq r<\left\vert d\right\vert$。在整数除法裡，余数可以要求为负，即满足关系：$-\left\vert d\right\vert <r\leq 0$。

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同餘。

参见

• 整除
• 中国剩余定理
• 同余
• 輾轉相除法