内角和外角

在几何学中，多边形的内角是指由多边形相邻两边所形成的角度。针对简单多边形，不论是凸多边形或是凹多边形，内角都是在多边形内侧的角度。多边形在每一个顶点都有一内角。

若一个简单、封闭的多边形，其每个内角都小于180°，此多边形称为凸多边形。

而多边形的外角是指由多边形的一边和邻边的延长线所形成的角度^[1]^{:pp. 261–264}。每一个顶点都会有两个外角，其大小相等。

性质

同一顶点的内角和外角互为补角，和为360°。
一简单、封闭的多边形，其内角和为180(n-2)°，其中n为多边形的边数，此公式可用三角形的内角和180°，再配合数学归纳法，每次加上一个顶点及两个边来证明。
一简单、封闭的多边形，其外角和为360°。
一个顶点会有二个外角，二个外角的角度相等。

延伸到非简单多边形

五角星形属于非简单多边形，其内角和为180度

内角的概念可以延伸到像星形之类边和边相交的非简单多边形。此时内角和可以表示为180(n-2k)°，其中n为多边形边数，k = 0, 1, 2, 3 ...为绕多边形的边走一圈时，会旋转几个360°，换句话说，360k°表示外角和。例如对于一般的凸多边形和凹多边形，绕多边形的边走一圈时只会旋转一个360°，因此外角和为360°。

参考资料

^ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.

外部链接

Internal angles of a triangle
Interior angle sum of polygons: a general formula - Provides an interactive Java activity that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons.

[PL-1] Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.

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