群速度

波的群速度（group velocity），或簡稱群速，是指波振幅外形上的變化（稱為波的「調變」或「波包」）在空間中所傳遞的速度。想像一下我們將一塊石頭投入一個平靜的池塘中激起一個波浪，隨即變成一個中心平靜呈環形擴展的波環。這個正在擴展的波環為一組由不同傳播速度的獨立子波組成。波長較長的子波傳播速度較快並消失在整組波的前緣。波長較短傳播較慢的波隨着整組波內緣的推進而消失。

此圖示為深水表面的波的傳遞模式。紅色點點以相速度運動，綠色點點以群速度運動。在這個例子中，紅點從左向右運動的過程中兩次跨過綠點，相速約略為群速的兩倍。
新的波看起來像是從一個波群的末尾處開始生成，振幅逐漸增大直至到達波群中間，然後再消失於波的前端。
對於水表面的重力波，大多數情況下群速度遠小於相速度。

實線是波包，虛線是波包的包絡。當波包傳播於空間時，包絡是群速度。

定義和解釋

定義

群速度通過下列方程式定義：

$v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}$

其中，

v_g是群速度

ω是波的角頻率

k是波數或波向量。

函數ω(k)將ω設為k的函數，被稱為色散關係。

• 如果ω正比於k，則群速度恰等於相速度，波形在傳播過程中不會被扭曲。
• 如果ω與k呈線性關係，而不是正比關係（ω=ak+b），此時群速度和相速度不同。波包以群速度傳播，但波包里的峰和谷以相速度傳播。
• 如果ω與k不是呈線性關係，波包不是以單一速度傳播，在行進中將會逐漸扭曲，這種扭曲與群速度有關。這樣的「群速度色散」在光纖中訊號的傳遞，以及短脈衝激光的設計兩個課題上是個重要的效應。

物理意義

群速度常被認為是能量或資訊順着波動傳播的速度。多數情況下這是正確的，也因此群速度可被視為波形所帶有的訊號速度。然而，如果波行經過吸收性介質（absorptive medium），這種情況就不一定成立。舉例而言，可以設計實驗將激光光脈衝送過特殊準備的物質，使得其群速度大大地超過真空中光速。然而訊號速度總是低於或等於光速，因此超光速通信是不可能。此外也可以將群速度減少到零，將脈衝停住，或者是得到負值的群速度，因為脈衝是以相反方向行進。

群速度與相速度方向相反的例子：圖中群速度方向自左至右，相速度方向自右至左

群速度迥異於相速度的概念是首先由哈密頓於1839年提出，這方面完整的處理則出現在瑞立勳爵（Lord Rayleigh）的1877年的著作《聲理論》（Theory of Sound）中。

物質波群速度

愛因斯坦於1905年首先解釋光的波粒二象性。路易·德布羅意提出德布羅意假說指出任何粒子都應該表現出這樣的二元性。在他的看法，粒子的速度應該永遠等於相對應物質波的群速度。德布羅意想到：若為世所知的光的二元性方程式和其他粒子會是一樣的，則他的假說會成立。這表示：

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}$

其中$E$是粒子總能，p是粒子動量，以及$\hbar$是約化普朗克常數。利用狹義相對論，我們會發現：

$v_{g}={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma mvc^{2}}{\sqrt {{\gamma }^{2}m^{2}v^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma vc}{\sqrt {{\gamma }^{2}v^{2}+c^{2}}}}=v$

其中m是靜質量，c是真空中光速，以及$\gamma$是勞侖茲因子。變數v是不考慮波動行為的粒子速度。量子力學很精準地證實了這項假說，而且這項關係已經在粒子被明顯展示，粒子大小甚至可以大到如一些分子。

相關條目

• 色散
• 慢光

參考文獻

• 萊昂·布里淵《波傳遞與群速度》（Wave Propagation and Group Velocity）Academic Press Inc., New York（1960年）ISBN 0-1213-4968-3
• Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.

外部連結

• （英文）Greg Egan提供了一個Java applet，見這個網址，說明群速度與相速度的顯著差異。
• （英文）Group and Phase Velocity （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） - Java applet，有可隨使用者調整的群速度與頻率。